熊本大医数学'10[3]

関数 ()について、以下の問いに答えよ。
(1) の導関数を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) 条件 ()によって定まる数列の一般項を求めよ。


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解答 (2)では定積分を実行しなくても(1)を利用して解答できてしまいますが、定積分を実行するなら、部分積分のような雰囲気になります。

(1)  (定積分と微分(その2)を参照)

 (正接の加法定理を参照)




......[
]

(2) (1)より、 ・・・@
の定積分の上端と下端を等しい、と、おくと、

このとき、
@より、

別解.定積分を実行してみます。
 ・・・A
とおくと、tのとき、u (置換積分を参照)


 ( A)


(3) (2)より、

 ・・・B (2項間漸化式を参照)
 ・・・C
B−Cより、
は、初項,公比等比数列
......[]


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