旭川医大数学'10年[3]
関数 ()の逆関数を ()とおくとき、次の問いに答えよ。
問1　のとき、をxを用いて表せ。
問2　曲線 ()と直線 ()の2つの交点のx座標を、それぞれα，β ()とおくとき、をt と関数gを用いて表せ。
問3　 ()とおくとき、 ()を示し、を最小にするt の値を求めよ。
解答　面倒な微積の計算問題です。符号もややこしいので注意してください。

問1　関数 ()の逆関数が ()であるとき、
　･･･①
ここで、です。また、のときには、となります。
両辺をxで微分して、
　(合成関数の微分法を参照)
と①より、，よって、
......[答]
別解．の逆関数をと書けば、逆関数の微分法の公式を用いて、


問2　 (半角の公式を参照)は、のとき，のとき，のとき，
では増加関数、では減少関数です。
曲線と直線の2つの交点のx座標α，β について、となっています。
従って、，，，，，です。これらを用いて、
　(三角関数の積分を参照)




......[答]

問3　問2の結果を用いて、

　･･･②

とすると、においては、

∴ 　()
①において、とすると，とすると
を考慮すると、，
よって、②より、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。
t0

1

－0＋
0
0

増減表より、において
また、を最小にするtは、 ......[答]

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