旭川医大数学'10[3]

関数 ()の逆関数を ()とおくとき、次の問いに答えよ。
1 のとき、xを用いて表せ。
2 曲線 ()と直線 ()2つの交点のx座標を、それぞれαβ ()とおくとき、t と関数gを用いて表せ。
3  ()とおくとき、 ()を示し、を最小にするt の値を求めよ。

解答 面倒な微積の計算問題です。符号もややこしいので注意してください。

1 関数 ()の逆関数が ()であるとき、
 ・・・@
ここで、です。また、のときには、となります。
両辺を
xで微分して、
 (合成関数の微分法を参照)
と@より、,よって、
......[]
別解.の逆関数をと書けば、逆関数の微分法の公式を用いて、


2  (半角の公式を参照)は、のときのときのとき
では増加関数、では減少関数です。
曲線と直線
2つの交点のx座標αβ について、となっています。
従って、です。これらを用いて、
 (三角関数の積分を参照)




......[
]

3 問2の結果を用いて、

 ・・・A

とすると、においては、

 ()
@において、とするととすると
を考慮すると、
よって、Aより、
増減表は以下のようになります
(関数の増減を参照)
t0

1

0
0
0

増減表より、において
また、を最小にする
tは、 ......[]


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