山梨大医数学'09[4]

放物線A上の点 ()における接線に関して、Aの頂点と対称な点Px座標、y座標をと表し、が描く曲線をBとする。
(1) を求め、さらにを求めよ。
(2) とする。を満たす実数uに対して、曲線Bx軸、直線によって囲まれる図形の面積をとするとき、を求めよ。
(3) 直線に関して放物線Aと対称な放物線をCとする。放物線Cy軸方向に2倍拡大した放物線をDとする。放物線Dと放物線Aによって囲まれる図形の面積を求めよ。
(4) 直線と放物線Dによって囲まれる図形を直線の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

解答 数学V全般にわたってボリューム満点のこういう問題こそ、入試準備の演習課題として効率的で最適、という問題です。(3)の定積分は素直に計算すると、xにマイナスがついているのがいやらしく、充分注意して(危なければ、などとおいて置換積分する)計算する必要があります。

(1) A
合成関数の微分法より、
Aの方程式両辺をxで微分して、

における接線: ・・・@
原点
O(放物線Aの頂点)を通り@と垂直な直線 ・・・A
@,Aを連立して、

Aより、
Aの頂点と点P(@に関してAの頂点と対称)を結ぶ線分OPの中点が、@とAの交点になります。よって、Pの座標は
......[]
......[] (関数の極限を参照)

(2) です。
より、であることに注意します。
のとき
Pですが、のとき、より、


よりなので、
これが曲線Bの方程式になります。のときなのでの場合を含んでいます。曲線Bx軸、直線 ()によって囲まれる図形(右図黄色着色部分)面積は、
(分母がなるべく簡単な形になるように)とおくと、
xのとき、s (置換積分を参照)
とおく(置換積分(その2)を参照)と、 ()として、sのとき、θ
より、

 (半角の公式を参照)




のとき、より

......[]

(3) 直線に関して放物線Aと対称な放物線C
放物線Cy軸方向に2倍拡大した放物線D
ADの交点は、を連立して、


放物線Dと放物線Aによって囲まれる図形(右図黄緑色着色部分)面積は、
......[]

(4) Dの交点は、

の周りに回転させる回転体ですが、x軸の周りに回転させるときと同様に考えて、回転軸に垂直な断面の円の面積を、回転軸に沿って積分することにより回転体の体積を求めます(斜回転体を参照)
として、
D上の点Qを通りに垂直な直線は、
と連立して、交点Hx座標を求めると、

よって、
断面の円の面積は、
原点
OHとの距離は、
においてより、回転体の体積Vは、
 (回転軸に沿って積分するので、tではなく、OHについて積分する)
OHのとき、t


......[]


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