東北大文系数学'09年前期[4]

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不等式が表す座標平面上の領域をDとする。実数aに対して、放物線Cをで定める。このとき、C上の点がすべてDの点となるようなaの範囲を求めよ。

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解答　　･･･�@

C：

絶対値記号の内側の正負により、(i) ，(ii) の2つの場合に分けて考えます。

(i) のとき、より、�@は、

において、C上の点がすべて領域Dに含まれる条件は、

これより、

　･･･�A

の軸の位置は，頂点のy座標は　(2次関数、2次関数の最大・最小を参照)

(a) ，つまり、のとき、�Aが成り立つ条件は、

∴

(b) ，つまり、のとき、�Aが成り立つ条件は、

これは、無条件に成立します。よって、

(a)または(b)より、　･･･�B

(ii) のとき、より、�@は、

において、C上の点がすべて領域Dに含まれる条件は、

これより、

　･･･�C

の軸の位置は，頂点のy座標は

(a) ，つまり、のとき、�Cが成り立つ条件は、

∴

(b) ，つまり、のとき、�Cが成り立つ条件は、

これは、無条件に成立します。よって、

(a)または(b)より、　･･･�D

(i)においても(ii)においても�@が成立するので、�Bかつ�Dより、

......[答]

注．上記において、(i)と(ii)の関係と、(a)と(b)の関係が異なることに注意してください。
(i)と(ii)では、であってもであっても、「C上の点がすべてDの点」となるので、(i)から出てくる条件�Bと、(ii)から出てくる条件�Dの関係は、「�Bかつ�D」です。
(a)と(b)では、軸の位置は、から左にあるか、または、右にある、という関係なので、「(a)から出てくる条件 または (b)から出てくる条件」になります。

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