東北大理系数学'09年前期[6]

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実数aに対して、xの方程式

が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。

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解答　難問ではありませんが、地道で面倒な考察を必要とする問題です。こういう問題でこそ、東北大学を目指す気持ちの強さが現れると言えるかも知れません。
以下では、の場合はグラフから視覚的に判断できますが、の場合は判別式などを調べる必要があります。
なお、2次関数、2次方程式の一般論、2次方程式の解の配置を参照してください。

　･･･�@

�@の形のままでは、絶対値がついている上に、文字aを含むので大変です。
絶対値記号の内側は、で符号が変わるところとで符号が変わるところがそれぞれ2カ所あることに目をつけて、�@を、

　･･･�A
　･･･�B

の連立方程式と見ることにします。�A，�Bとも、において絶対値記号の内側が符号を変えます。
�Aは、，のとき、

のとき、

よって、�Aのグラフは右図のようになります。
�Bは、のとき、

　･･･�C

のとき、

　･･･�D

のとき、

　･･･�E

よって、�Bのグラフは、，のとき、右図のようになります(のときは�Bはx軸に一致)。このとき、aがいかなる値であっても、のときとなることに注意します。つまり、�Bのグラフはaの値にかかわらず、点，点を通ります。
また、�Bは、のとき，のときとなるので、点，点を通ります(この2点で折れ曲がります)。
のとき�Bはx軸に一致しますが、�Aはx軸と相異なる3個の共有点をもつので、不適です。以後、�Aの右辺をとおいて()、，の場合に分けて考えます。

(i) のとき

(a) において、�Bは、を通り、�Eより傾き ()の直線の一部になりますが、，で、は増加なので、において、�Aと�Bのグラフは1交点をもち、方程式�@は1解をもちます。

(b) において、�Bは、，を両端とする傾き ()の線分で、であり、，つまり、のとき、点 (�Aのグラフとy軸との交点)を通ります。�Aのグラフはこの範囲で上に凸なので、�Bが点を通ることから、であれば、この範囲において、�Aと�Bのグラフは1交点をもち、方程式�@は1解をもちます。

のとき、この範囲において、�Aと�Bのグラフは2個の共有点をもち、方程式�@は2解をもちます。

(c) において、�Bは、を通り、傾き ()の線分で、はこの範囲で減少なので、のときには、において�Aと�Bは共有点をもたず、方程式�@は解をもちません。

より、のときには、において�Aと�Bは共有点を1個もち、方程式�@は1解をもちます。

以上より、方程式�@が4解をもつのは、

　･･･�F

のときです。

(ii) のとき

(a) において、と�Cを連立すると、

　(左辺をとおきます)

判別式：
のときなので、より、において、�Aと�Bは交点を1個もち、方程式�@は1解をもちます。

(b) において、と�Eを連立すると、

(左辺をとおきます)

判別式：
のときなので、の軸：，より、において、�Aと�Bは交点を2個もち、方程式�@は2解をもちます。
のときで、において、方程式�@は1解(重解)をもちます。
のとき、において、方程式�@は解をもちません。
()のとき、

・のときには、より、において、方程式�@は1解をもちます。

・のときには、，の軸：より、において、方程式�@は解をもちません。

(c) において、と�Dを連立すると、

　(左辺をとおきます)

判別式：
のときなので、において、方程式�@は解をもちません。
のときで、において、方程式�@は1解(重解)をもちます。
のときですが、の軸：，，より、

・のときには、軸：，，より、において、方程式�@は2解をもちます。

・のときには、，より、において、方程式�@は1解をもちます。

各範囲の解の個数は、aの値に従って以下のようになります。

	1	0	1
	1	1	1
	1	2	1
	1	1	1
	1	1	0
	1	1	1
	1	1	2

表より、方程式�@が4解もつのは、，　･･･�G

�F，�Gより、，， ......[答]

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