東北大理系数学'09年前期[6]

実数aに対して、xの方程式
が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。

解答 難問ではありませんが、地道で面倒な考察を必要とする問題です。こういう問題でこそ、東北大学を目指す気持ちの強さが現れると言えるかも知れません。
以下では、の場合はグラフから視覚的に判断できますが、の場合は判別式などを調べる必要があります。
なお、
2次関数2次方程式の一般論2次方程式の解の配置を参照してください。

 ・・・@
@の形のままでは、絶対値がついている上に、文字aを含むので大変です。
絶対値記号の内側は、で符号が変わるところとで符号が変わるところがそれぞれ
2カ所あることに目をつけて、@を、
 ・・・A
 ・・・B
の連立方程式と見ることにします。A,Bとも、において絶対値記号の内側が符号を変えます。
Aは、のとき、

のとき、
よって、Aのグラフは右図のようになります。
Bは、のとき、

 ・・・C
のとき、
 ・・・D
のとき、
 ・・・E
よって、Bのグラフは、のとき、右図のようになります(のときはBはx軸に一致)。このとき、aがいかなる値であっても、のときとなることに注意します。つまり、Bのグラフはaの値にかかわらず、点,点を通ります。
また、Bは、のときのときとなるので、点,点を通ります
(この2点で折れ曲がります)
のときBは
x軸に一致しますが、Aはx軸と相異なる3個の共有点をもつので、不適です。以後、Aの右辺をとおいて()の場合に分けて考えます。
(i) のとき
(a) において、Bは、を通り、Eより傾き ()の直線の一部になりますが、で、は増加なので、において、AとBのグラフは1交点をもち、方程式@は1解をもちます。
(b) において、Bは、を両端とする傾き ()の線分で、であり、,つまり、のとき、点 (Aのグラフとy軸との交点)を通ります。Aのグラフはこの範囲で上に凸なので、Bが点を通ることから、であれば、この範囲において、AとBのグラフは1交点をもち、方程式@は1解をもちます。
のとき、この範囲において、AとBのグラフは2個の共有点をもち、方程式@は2解をもちます。
(c) において、Bは、を通り、傾き ()の線分で、はこの範囲で減少なので、のときには、においてAとBは共有点をもたず、方程式@は解をもちません。
より、のときには、においてAとBは共有点を1個もち、方程式@は1解をもちます。
以上より、方程式@が4解をもつのは、
 ・・・F
のときです。
(ii) のとき
(a) において、とCを連立すると、

 (左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、より、において、AとBは交点を
1個もち、方程式@は1解をもちます。
(b) において、とEを連立すると、

(左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、の軸:より、において、AとBは交点を
2個もち、方程式@は2解をもちます。
のときで、において、方程式@は
1(重解)をもちます。
のとき、において、方程式@は解をもちません。

()のとき、
のときには、より、において、方程式@は1解をもちます。
のときには、の軸:より、において、方程式@は解をもちません。
(c) において、とDを連立すると、

 (左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、において、方程式@は解をもちません。
のときで、において、方程式@は
1(重解)をもちます。
のときですが、の軸:より、
のときには、軸:より、において、方程式@は2解をもちます。
のときには、より、において、方程式@は1解をもちます。
各範囲の解の個数は、aの値に従って以下のようになります。

101
111
121
111
110
111
112

表より、方程式@が4解もつのは、 ・・・G
F,Gより、 ......[]


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