埼玉大理数学'09年[3]
xy平面において2つの曲線：，： ()を考える。次に、の点における接線をとする。ただし、のとき、接線は直線とする。
(1) 接線と円が共有点をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) aが(1)で求めた範囲にあるとき、接線と円の共有点をP，Qとする。ただし、共有点が1点の場合はとする。このとき、線分PQの中点Mの軌跡Cの方程式を求めよ。
(3) 軌跡Cと円に囲まれ、点を含む図形の面積を求めよ。
解答　(3)の定積分計算がなかなか面倒です(置換積分を参照)。

(1) について、
のとき、接線：は、上の点を通るので、接線と円は共有点をもちます。
のとき、における接線：
これを、：に代入して、
をかけて整理すると、
　･･･①
左辺をとおくと、接線と円が共有点をもつとき、2次方程式は、の範囲に重解も含めて2実数解をもち、その条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
判別式：　･･･②
軸の位置：　･･･③
端：，　･･･④
②より、
∴ 　･･･⑤
③の左の不等号はであれば必ず成立します。右の不等号より、
　∴ 　･･･⑥
④は、
，
より、必ず成立します。よって、，⑤，⑥より、
のときを含めて、共有点をもつaの範囲は、
......[答]
別解．円と直線の位置関係を考える場合には、点と直線の距離の公式を用いるのが便利です。
円と接線が共有点をもつのは、円の中心と接線：との距離が半径1以下の場合です。よって、


∴ ，
∴

(2) P，Qのx座標をp，qとします。p，qは①の2解です。解と係数の関係より、
PQの中点Mのx座標Xは、
aについて解くと、
　･･･⑦
(1)よりなので、
∴ 　･･･⑧
Mのy座標Yは、⑦をの式に代入することにより、

，として、Mの軌跡Cの方程式は、
......[答]
⑧より、

(3) 面積Sを求める図形は右図黄色着色部分で、円から下側、C：から上側の部分であり、の部分に存在します。
このうち、は、右図の黄緑色着色部分の面積で、
　(置換積分(その2)を参照)
文字の置き方を考えることになりますが、なるべく分母を簡単にしたいので、とおきます。，，，，x：のとき、t：
また、
　(置換積分を参照)
ここで、被積分関数を2つに分けて計算します。
とおくと、，t：のとき、θ：
また、において、



は、右図の水色部分の面積で、
∴
∴ ......[答]

　　　演習上級数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる		苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
　雑誌「大学への数学」出版元