埼玉大理数学'09[3]

xy平面において2つの曲線 ()を考える。次に、の点における接線をとする。ただし、のとき、接線は直線とする。
(1) 接線と円が共有点をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲にあるとき、接線と円の共有点をPQとする。ただし、共有点が1点の場合はとする。このとき、線分PQの中点Mの軌跡Cの方程式を求めよ。
(3) 軌跡Cと円に囲まれ、点を含む図形の面積を求めよ。

解答 (3)の定積分計算がなかなか面倒です(置換積分を参照)

(1) について、
のとき、接線は、上の点を通るので、接線と円は共有点をもちます。
のとき、における接線
これを、に代入して、
をかけて整理すると、
 ・・・@
左辺をとおくと、接線と円が共有点をもつとき、2次方程式は、の範囲に重解も含めて2実数解をもち、その条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
判別式: ・・・A
軸の位置: ・・・B
端: ・・・C
Aより、
 ・・・D
Bの左の不等号はであれば必ず成立します。右の不等号より、
 ∴  ・・・E
Cは、

より、必ず成立します。よって、,D,Eより、
のときを含めて、共有点をもつaの範囲は、
......[]
別解.円と直線の位置関係を考える場合には、点と直線の距離の公式を用いるのが便利です。
と接線が共有点をもつのは、円の中心と接線との距離が半径
1以下の場合です。よって、




(2) PQx座標をpqとします。pqは@の2解です。解と係数の関係より、
PQの中点Mx座標Xは、
aについて解くと、
 ・・・F
(1)よりなので、
 ・・・G
My座標Yは、Fをの式に代入することにより、

として、M軌跡Cの方程式は、
......[]
Gより、

(3) 面積Sを求める図形は右図黄色着色部分で、円から下側、Cから上側の部分であり、の部分に存在します。
このうち、は、右図の黄緑色着色部分の面積で、
 (置換積分(その2)を参照)
文字の置き方を考えることになりますが、なるべく分母を簡単にしたいので、とおきます。xのとき、t
また、
 (置換積分を参照)
ここで、被積分関数を2つに分けて計算します。
とおくと、tのとき、θ
また、において、



は、右図の水色部分の面積で、

......[]


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