信州大理医数学'09年[2]

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数列，は

，

を満たすものとする。このとき、次の和を求めよ。

(1)

(2)

(3)

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解答　数列の和に関する基本問題ですが、注意が必要です。

まず、数列，の一般項を考えます。

　･･･�@
　･･･�A

・のとき、�@より，�Aより

・のとき、

�@より、

　･･･�B　(数列の和と一般項を参照)

これは、よりのときにも成り立ちます。
�Aより、

　･･･�C

これは、よりのときには成り立ちません。

(1) �Bより、

　(Σの公式を参照)


......[答]

(2) がのときにだけ成り立つので場合分けします。

・のとき、より、

・のとき、�Cより、

　(等比数列を参照)

これは、のときにも成り立ちます。

......[答]

(3)

とおきます。

・のとき、，より、

・のとき、

　(数列の求和技法を参照)

∴
なので、これはのときにも成り立ちます。

∴ ......[答]

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