信州大理医数学'09[2]

数列
を満たすものとする。このとき、次の和を求めよ。
(1)
(2)
(3)

解答 数列の和に関する基本問題ですが、注意が必要です。

まず、数列の一般項を考えます。

 ・・・@
 ・・・A
のとき、@より,Aより
のとき、
@より、
 ・・・B (数列の和と一般項を参照)
これは、よりのときにも成り立ちます。
Aより、
 ・・・C
これは、よりのときには成り立ちません
(1) Bより、
 (Σの公式を参照)


......[
]

(2) のときにだけ成り立つので場合分けします。
のとき、より、
のとき、Cより、
 (等比数列を参照)
これは、のときにも成り立ちます。
......[]

(3)
とおきます。
のとき、より、
のとき、
 (数列の求和技法を参照)

なので、これはのときにも成り立ちます。
......[]


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