信州大工数学'09[2]

数列において
とおく。
 ()
のとき、一般項を求めよ。

解答 数列n項の和に関する等式が与えられている問題では、
を利用します
(数列の和と一般項を参照)
また、という形の
漸化式は、
であれば、で割ることにより、
これで2項間漸化式の基本タイプになります。
であれば、とおいて漸化式に代入し、が公比p等比数列になるようにαβ を定めることにより、一般項を求めることができます。本問はこのタイプです。
であれば、とおいて漸化式に代入し、が公比pの等比数列となるようにαβγを定めることにより、一般項を求めることができます。

 ・・・@
とすると、より、
 ・・・A
@において、
nに代えて、
 ・・・B
B−@とより、
 ・・・C
 ・・・D とおいて代入すると、

注.このとき、くれぐれも、とやらないように注意してください。
整理して、

ここで、,つまり、のとき、
となり、は公比2の等比数列になります。
Dでとすると、Aより、


よって、
Dより、
......[]
別解.Cで、nに代えて、
 ・・・E
E−Cより、
とおくと、
 ・・・F
 ・・・G

F−Gより、
Cでとして、
は、初項:,公比
2の等比数列。

このにCを代入して、
......[]


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