信州大工数学'09年[2]

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数列において

とおく。

　()

のとき、一般項を求めよ。

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解答　数列のn項の和に関する等式が与えられている問題では、
とを利用します(数列の和と一般項を参照)。
また、という形の漸化式は、

・であれば、で割ることにより、

これで2項間漸化式の基本タイプになります。

・であれば、とおいて漸化式に代入し、が公比pの等比数列になるようにα，β を定めることにより、一般項を求めることができます。本問はこのタイプです。

・であれば、とおいて漸化式に代入し、が公比pの等比数列となるようにα，β，γを定めることにより、一般項を求めることができます。

　･･･�@

とすると、より、

∴ 　･･･�A
�@において、nをに代えて、

　･･･�B

�B−�@とより、

∴ 　･･･�C
　･･･�D　とおいて代入すると、

注．このとき、くれぐれも、とやらないように注意してください。
整理して、

ここで、，つまり、，のとき、

となり、は公比2の等比数列になります。
�Dでとすると、�Aより、

∴
よって、
�Dより、 ......[答]
別解．�Cで、nをに代えて、

　･･･�E

�E−�Cより、

とおくと、

　･･･�F
　･･･�G

�F−�Gより、
�Cでとして、
は、初項：，公比2の等比数列。

∴
このに�Cを代入して、

∴ ......[答]

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