札幌医大数学'09[3]

平面上に2PQがある。ただしabは正の数とする。線分OPと線分OQ上に、それぞれ動点MNがあり、を満たすように動くとき、線分MNが通過する領域をTとする。ここでOは原点を表す。
(1) 領域Tは線分OPOQと、PQを結ぶ曲線で囲まれる。この曲線の方程式を求めよ。
(2) 領域Tを図示せよ。
(3) 領域Tx軸のまわりに1回転してできる立体をUとする。2PQが単位円周上にあるとき、立体Uの体積を最大にするようなaの値と、そのときの立体Uの体積を求めよ。

解答 体積を除いて実質的に数学Uの範囲の微積分の問題ですが、ポイントとなるところは、(1)2次方程式の解の範囲を考える部分です。

(1)(2) Aとして、直線PAMから下ろした垂線の足をHとします。
であって、△OPAと△MPHは相似なので、
MPPHHM = OPPAAO =ba
とすると、
これより、Mの座標は
Nの座標は
直線
MNの傾きは、
直線MN方程式は、

rについて整理すると、
 ・・・@
ここで、Mが線分OP上の点であることから、
 ・・・A
であることに注意します。@の左辺をとおくと、r2次方程式は、Aの範囲に解をもちます。Aの範囲の両端において、

となりますが、線分MN上の点は、の部分であってかつの部分に存在するので、を満たします。つまり、

です。従って、
2次方程式がAの範囲に解をもつための条件は、の判別式Dのグラフの軸の位置に関して(2次方程式の解の配置を参照)
 ・・・B
 ・・・C
Bと、より、
 ・・・D
Cより、

線分MN上の点はの部分に存在するので、求める領域Tは、
かつ かつ
であって図示すると、右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
(1)PQを結ぶ曲線の方程式は、Dの不等号を等号に変えて、
......[] ・・・E

(3) Uは、底円の半径b,高さaの円錐から、曲線Eと直線に挟まれた部分を除いた図形になります。その体積Vは、
 ( E)
 (定積分を参照)

2PQが単位円周上にあるとき、より、

とすると、においては,このとき、
a0

1

0
V00
>
増減表より(3次関数の最大最小を参照)、立体Uの体積を最大にするaの値は、 ......[]
そのときの立体Uの体積は、 ......[]


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