岡山大理系数学'09[2]

2×2行列ABが、条件
を満たしているとする。ただし、Oは零行列を表す。このとき以下の問い(1)(2)に答えよ。もし必要であれば、行列に対して
 ・・・()
が成り立つことを使ってもよい。ただし、Eは単位行列を表す。
(1) ある数αβに対してとなることを示せ。
(2) (1)においてのとき、を示せ。

解答 行列の対角和をネタにした問題です。
(2)では、を満たす行列が出てきますが、これを射影子(正しくは、擬射影子)と言います。スペクトル分解に出てくる行列で、任意のベクトルの固有ベクトルの方向への成分を作る働きを持っています。以下で、行列式については、逆行列を参照してください。

問題文の条件:

 ・・・@
行列に対して、行列X成分p成分qの和(対角和と言います)と書くことにします。つまり、です。
Xの行列式はなので、()を、
 ・・・A
と書くことができます(ハミルトン・ケーリーの定理を参照)

(1) が存在すると仮定して、条件@のの左からをかけると、
となって条件@に反するので、は存在しません(背理法を参照)
同様に、が存在すると仮定して、条件@のの左からをかけると、
となって条件@に反するので、も存在しません。

よって、行列A,行列BにAを適用すると、
とすれば、となります。

(2) (1)より、
これより、とおくと、条件@を用いて、
 ・・・B
また、は、であることを意味します。
は行列
C成分と成分の和、つまり、成分と成分の和ですが、これは、行列A成分と成分の和と、行列B成分と成分の和、との和であって、
Aより、行列Cについて、
となりますが、Bより、
よって、とおいて、
 ・・・C
と書くことができます。再びBより、
なので、
は、Cよりとなって、にはなり得ないので、不適。
よって、
Cより、


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