金沢大理系数学'09[2]

関数は区間で連続で、偶関数、すなわちであるとする。次の問いに答えよ。
(1) を示せ。
(2) 関数 ()について

を示せ。
(3) 関数は、さらに等式
 ()
を満たすとする。このとき、関数について

が成り立つことを示し、を導け。

解答 本問だけだと、単なる計算問題ですが、物理の単振動を背景としている問題です。

(1) において、とおくと、tのとき、u
 (置換積分を参照)

(2) 絶対値を含む定積分は、絶対値記号内が0以上になるように積分区間を分割して計算します。においてはにおいてはです。

 (定積分と微分を参照)
 ・・・@

(3) ,また、(2)の結果より、
 ・・・A
 ・・・B
Bにおいてとすると、
Bを微分すると、
 ・・・C
@において、とすることにより、
 ( (1))
とおくと、
 (合成関数の微分法を参照)
 ・・・D
Cを微分すると、
 ( B)
Dより、
(C:定数)
より、

これより、恒等的に

追記.この問題で、積分するときの変数をsxt,積分の下端をと上端をTと書き直すと、
 ()

になります。を満たすとして、
 ・・・E
とおくと、
より、Etに依存しない定数になりますが、これは、力学的エネルギー保存則を表しています。物体の質量をmとして、は運動エネルギー,は位置エネルギーを表しています。本問では、の形が与えられてしまっていますが、Eより、

となり、両辺をtで積分し、とおくと、tのとき、θより、

本問では、となるような条件設定がされています。

なお、同じようなことをすると、
単振動の運動方程式を微分方程式を持ち出さずに解くことができます。時刻tに位置xにいる質点が変位に比例する復元力を受けて運動しているとします。質点の速度は,加速度は
質点の
運動方程式は、,つまり、
 ・・・F
Fは、線形二階微分方程式と呼ばれるものですが、高校数学の範囲では解くことができません。ですが、エネルギーに着目すると、
質点の力学的エネルギー:は、

 ( F)
よって、力学的エネルギーEは時間が経過しても一定(力学的エネルギー保存則が成立)です。
より、
これよりには最大値が存在しますが、これを
Aとおく(振幅)と、のときなので、

 (とおいた)
逆関数の微分法の公式を用いて、
のとき,時刻tにおいてだとします。
両辺を
xの範囲で積分すると、
とおくと、xのときφ




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