京都府立大数学'09[1]

定数aを実数とし、とする。関数
とする。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、tの値の範囲を求めよ。
(2) ytの式で表せ。
(3) がつねに成り立つように、aの値の範囲を求めよ。
(4) 方程式3個以上の異なる実数解をもつように、aの値の範囲を求めよ。

解答 三角関数と2次方程式・2次関数の融合問題です。

(1)  (三角関数の合成を参照)
ここで、αは、を満たす角で、

より
......[]

(2)
 (2倍角の公式を参照)
これとyの式を見比べると、より、
これより、
......[]

(3)
とおきます。軸の位置が、(1)で求めたという範囲のどこにあるか、(i) 範囲から左側() (ii) 範囲内の左側() (iii) 範囲内の右側() (iv) 範囲から右側() ということで分類して、の最大最小を考えます(2次関数の最大最小を参照)
(i) のとき、においてyは単調増加なので、
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
より、これを満たすaはありません。
(ii) のとき、軸は範囲の左側にあって、です。
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
と合わせて、 ・・・@
(iii) のとき、軸は範囲の右側にあって、です。
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
と合わせて、 ・・・A
(iv) のとき、においてyは単調減少なので、
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
より、これを満たすaはありません。
@,Aより、 ......[]

(4)  ・・・B
の解は、
 ・・・C, ・・・D
を連立したときの解です。Cの実数解の個数は多くても2個です。Dはtの値を固定するとき、実数解の個数は多くても2個です。
従って、Bが
3個以上の相異なる実数解をもつとき、(1)よりCはの範囲に2個の相異なる実数解をもちます。 ・・・E
このとき、Cの解
tに対してDは自動的に1個または2個の実数解をもち、題意を満たします。
として、Eより
(2次方程式の解の配置を参照)
Cの判別式: ・・・F
の軸: ・・・G
端: ・・・H
Fより、 ・・・I
Hより、 ・・・J
IかつGかつJより、
......[]


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