上智大理工数学'09年[1]

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極限値は自然対数の底eであり、その近似値はであることが知られている。ここでは、であることを次の手順で示そう。

(1) 自然数kに対して、であることを示せ。

(2) を二項定理を用いて展開することにより、

であることを示せ。

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解答　参考書などによく出ている証明をすればよい問題なのですが、いざ、試験場で自分でやってみなさい、と言われると、難航するかも知れません。

(1) 数学的帰納法で示します。

(�T) のとき、

，

よって、は成立します。

(�U) のとき、

　･･･�@

が成立すると仮定します。
�@の両辺に2をかけて、

のとき、より、

よって、のときにも、が成立します。

(�T)，(�U)より、自然数kに対して、が成り立ちます。

(2) 二項定理より、

　･･･�A

さて、ここで目標とすることは、これが、3以下、つまり、先頭の1を除いた第2項以降の和が2以下であることを示すことです。
このために、�Aの第2項以降の各項が、初項1で和が2となるような等比数列の各項と比較できないか、考えてみます。
初項1，和が2となるような無限等比級数の公比をrとすると、

∴
となるので、�Aの第項、つまりをと比較します。(1)を用いて、より、

･･････

となるので、�Aの第2項以降について、

これより�Aは3よりも小さくなり、

　･･･�B

数列の各項について�Bが成り立つので、の極限について、

が成り立ちます。

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