茨城大理数学'09年[2]
関数
を考える。以下の各問いに答えよ。
(1) 関数fのグラフについて、座標軸との交点、凹凸、漸近線を調べ、その概形をかけ。
(2) x軸、y軸および関数fのグラフで囲まれた図形Aをx軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積Vを求めよ。
(3) 部分積分法により
を求めよ。
(Cは積分定数)を用いてよい。
(4) (2)の図形Aをy軸のまわりに1回転して得られる立体の体積Wを求めよ。
解答　数学Ⅲの範囲全般にわたる基礎問題です。

(1) ，
よりは単調減少関数です(関数の増減を参照)。
よりのグラフは上に凸です(関数の凹凸を参照)。
x軸との交点は，y軸との交点はです。
のとき、より、
のとき、，
よって、のグラフは漸近線：をもちます。
のグラフの概形は右図黒色太線。

(2) 図形Aは、右上図の黄色着色部分で、の範囲に存在します。回転体の体積は、
　(x軸のまわりの回転体を参照)



......[答]

(3) 　(部分積分法を参照)



(C：積分定数) ......[答]

(4) 図形Aは、の範囲に存在するので、回転体の体積は、
　(y軸のまわりの回転体を参照)
積分を実行するためには、xをyを用いて表す必要があります。
より、
，，
とおくと、，y：のとき、u：
　(置換積分を参照)

......[答]

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