茨城大理数学'09[2]

関数
を考える。以下の各問いに答えよ。
(1) 関数fのグラフについて、座標軸との交点、凹凸、漸近線を調べ、その概形をかけ。
(2) x軸、y軸および関数fのグラフで囲まれた図形Ax軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積Vを求めよ。
(3) 部分積分法により
を求めよ。
(Cは積分定数)を用いてよい。
(4) (2)の図形Ay軸のまわりに1回転して得られる立体の体積Wを求めよ。

解答 数学Vの範囲全般にわたる基礎問題です。

(1)
よりは単調減少関数です(関数の増減を参照)
よりのグラフは上に凸です
(関数の凹凸を参照)
x軸との交点はy軸との交点はです。
のとき、より、
のとき、
よって、のグラフは
漸近線をもちます。
のグラフの概形は右図黒色太線。

(2) 図形Aは、右上図の黄色着色部分で、の範囲に存在します。回転体の体積は、
 (x軸のまわりの回転体を参照)



......[]

(3)  (部分積分法を参照)



(C:積分定数) ......[]

(4) 図形Aは、の範囲に存在するので、回転体の体積は、
 (y軸のまわりの回転体を参照)
積分を実行するためには、xyを用いて表す必要があります。
より、

とおくと、yのとき、u
 (置換積分を参照)

......[]


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