山形大工数学'08[4]

数列
 ()
で定義されるとき、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) 部分積分法を用いて、 を示せ。
(3) とおくとき、を示せ。
(4) を示し、を求めよ。

解答 なので、であり、この問題のについて言えることがについても言えます。
(4)は、少し悩むかも知れません。ここでは、悩むところからやってみます。
なお、
定積分の漸化式を参照してください。

(1) ......[] (不定積分の公式を参照)
......[] (半角の公式を参照)

(2)  (ここで、部分積分を行う)
 (です)






 ・・・@

(3) @を利用するために、の添字を1つずらして、としてみます。
@を代入して、

よって、
 ( (1))

(4) (3)より、
 ・・・A
において、 (等号はのときだけ)なので、です。ということは、
 ・・・()
です。そこで、()を示すことにします。
()の左側の不等号は、Aの両辺にをかけて、
として、であれば
として導けそうです。
()の右側の不等号は、であれば、Aの左辺にをかけたものとを比較することにより、
として、
から導けそうです。
ということは、が言えれば
()が言えることになります。
なので、において、を比べることになります。答案は以下のようになるでしょう。

において、
(等号はのときだけ)より、
よって、
また、において、 (等号はのときだけ)より、
(3)より、
 ・・・A
Aの両辺に、をかけて、

より、
 ・・・B
Aととから、

なので、に対して、
 ・・・C
B,Cより、
より、
ここで、とすると、左辺は、
よって、はさみうちの原理より、
......[]


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