山形大工数学'08年[4]

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数列が

　()

で定義されるとき、次の問いに答えよ。

(1) ，を求めよ。

(2) 部分積分法を用いて、 を示せ。

(3) とおくとき、を示せ。

(4) を示し、を求めよ。

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解答　なので、であり、この問題のについて言えることがについても言えます。
(4)は、少し悩むかも知れません。ここでは、悩むところからやってみます。
なお、定積分の漸化式を参照してください。

(1) ......[答]　(不定積分の公式を参照)

......[答]　(半角の公式を参照)

(2) 　(ここで、部分積分を行う)

　(です)

∴
∴
∴ 　･･･�@

(3) �@を利用するために、の添字を1つずらして、としてみます。

�@を代入して、

∴
よって、

　(∵ (1))

(4) (3)より、

　･･･�A

において、 (等号はのときだけ)なので、です。ということは、

⇔ 　･･･(＊)

です。そこで、(＊)を示すことにします。
(＊)の左側の不等号は、�Aの両辺にをかけて、

として、であれば、

として導けそうです。
(＊)の右側の不等号は、であれば、�Aの左辺にをかけたものとを比較することにより、

として、

から導けそうです。
ということは、が言えれば(＊)が言えることになります。
，なので、において、とを比べることになります。答案は以下のようになるでしょう。

において、 (等号はのときだけ)より、
よって、

また、において、 (等号はのときだけ)より、

(3)より、

　･･･�A

�Aの両辺に、をかけて、

∴
より、

∴ 　･･･�B
�Aととから、

∴
なので、に対して、
∴ 　･･･�C
�B，�Cより、

より、

ここで、とすると、左辺は、
よって、はさみうちの原理より、

∴ ......[答]

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