岡山大理系数学'08[3]

a0以上の実数、nを正の整数とするとき、次の問いに答えよ。
(1)
が成り立つことを示せ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3) が成り立つことを示せ。


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解答 誘導がなければ難問ですが、親切な誘導がついているので、誘導通りにやれば大したことはありません。
(2)(3)より、のとき、なので、 (の場合については、極限の公式を参照)になると言いたいのだろうと思います。
なお、指数関数、積分を未履修の方は、
指数関数不定積分定積分不定積分の公式を参照してください。

(1)  (部分積分法を参照)


 ・・・@
よって、与式は示されました。

(2) より、,よって、
 ・・・A
@より、
 (中カッコ内をでくくります)

 ・・・B
右辺の被積分関数は、において、より、
よって、
従ってBより、 ・・・C
A,Cより、

(3) 証明すべき式の左辺はBの左辺に出てきます。Bの右辺が以下であることを言えばよいわけです。Bの右辺に既にがついているので、積分が以下であればよい、ということになります。 なので、被積分関数の残りの部分について、 (定数以下という形を作る)を示したいのですが、(2)で、が示されているので、となるので解決します。結局、答案の流れは以下のようにすればよいでしょう。

において、(2)より、 なので、
両辺に ()をかけて、
よって、B右辺の被積分関数について、

両辺にをかければ、Bより、
よって、与不等式が示せました。


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