名工大数学'08年前期[4]

表の出る確率がp ()、裏の出る確率がのコインを用いて、以下の手順により1つの空間ベクトルを定める。1回目にコインを投げて、表が出ればx成分を1,裏が出ればx成分をとし、2回目にコインを投げて同じようにy成分を決め、3回目にコインを投げて同じようにz成分を決める。この手順を3回繰り返して、3つの空間ベクトルを決める。x成分が同符号となる確率をαとする。
(1) αpを用いて表せ。
(2) 内積1となる確率をαを用いて表せ。
(3) 内積の期待値をαを用いて表せ。
(4) として内積が正となる確率を求めよ。

解答 (4)に奥深い問題があるのですが、その問題に気づかなくても正解と同じ答が出てしまいます。実際の入試の採点ではどうだったのでしょうか?

x成分をy成分をz成分をとします。
(1) が同符号になるのは、
となる場合です。
となる
確率は、1回目も2回目も表が出る確率で
となる確率は、
1回目も2回目も裏が出る確率で
が同符号になる確率
αは、
......[]
が同符号になる確率、が同符号になる確率もαです。

(2) (内積を参照)となるのは、のうち、2つが1で、1つがとなるときです。
となるのは、が同符号なるときで、確率はα
となるのは、が異符号になるときで、確率は
y成分、z成分についても同様です。
のうち、どれがになるかが
3通りあり、同符号が2つ異符号が1つになるので、となる確率は、 ......[]

(3) は、のときに3のときに1のときにのときにとなり、これ以外にの取り得る値はありません。ののとりうる値は、31です。
となるのは、のときで、の組がいずれも同符号になるときです。この確率は
となる確率は、(2)より、
となるのは、のうち、2つがで、1つが1となるときです。この確率は、のうち、どれが1になるかが3通りあり、同符号が1つ異符号が2つになるので、
となるのは、のときで、の組がいずれも異符号になるときです。この確率は ・・・@
内積期待値は、

......[]

(4)
の各成分が1であってもであってもです。
となる方を考えると場合分けが多いので、余事象の方、つまり、
となる場合を考えます。こうなるのは、
となる場合です。
となるのは、
となるときです。x成分を考えると、のいずれも異符号なので、
のいずれかのときですが、こうなるのは「表裏裏」となるか「裏表表」となる場合で、その確率は、
y成分、z成分も同様です。よって、となる確率は、 ・・・A
となるのは、
の組がいずれも異符号で、の組のうち
2つが異符号で1つが同符号となる場合です。x成分を考えると、のいずれも異符号となる確率は上記のようにです。が異符号でが同符号となるのは、
のいずれかのときですが、こうなるのは「表表裏」となるか「裏裏表」となる場合で、その確率は、
となり、のいずれも異符号となる確率と等しくなります。
y成分、z成分も同様です。
の組のうちどれが同符号になるのかが
3通りあるので、となる確率は、 ・・・B
となる確率も同様に、 ・・・C
よって、となる確率は、A,B,Cより、
となる確率は、として、
......[]
追記.この問題には注意すべき点があります。
例えばのとき、となる確率は、
 ・・・D
なのですが、となる確率を@からとし、となる確率をとして、となる確率を、
 ・・・E
としてしまうと、のときなので、となってしまい、Dと食い違ってしまいます。この原因は、となる事象ととなる事象が独立でないことによります。となる確率はではないのです。但し、のときにはEもになってしまうので答は合ってしまいます。旺文社全国大学入試問題正解に詳しい解説があります。


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