熊本大理系数学'08[4]

放物線Cおよび点Fについて考える。以下の問いに答えよ。ただし、Oは原点を表す。
(1) 放物線C上の点A (とする)に対してとおく。rθ を用いて表せ。
(2) 放物線C上にn個の点,・・・,
かつ ()
を満たすようにとる。極限を求めよ。

解答 放物線の焦点は,準線はです。
(2)は、は気がつけても、だと気がつきにくいかも知れません。試験会場では、を微分してみるとよいと思います。

(1) Cは、と書くと、焦点はF,準線はです。
Aから準線に垂線AHを下ろすと、Hです。
FからAHに垂線FKを下ろすと、ですが、
について、
について、
放物線上の点
Aから焦点Fまでの距離と、点Aから準線までの距離AHは等しいので、

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追記.ここで得られた関係式は、放物線の、焦点Fを極とする極座標表示になっています。曲線上の点Aと定点Fまでの距離AFAから定直線に下ろした垂線をAHとして、
が定数になるとき、eを離心率と言います。この問題では、であって、曲線は放物線になります。では、曲線は楕円になり、では双曲線になります。定点Fを焦点、定直線を準線と言います。なお、極座標を参照してください。

(2) (1)で導いた関係式で、のとき、だとして、

 (のとき、と見て定積分に直します。区分求積法を参照)
とおくと、xのとき、θ  (置換積分を参照)
 (半角の公式を使用)

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