熊本大理系数学'08年[4]

熊本大理系数学'08年[4]

放物線C：

および点F

について考える。以下の問いに答えよ。ただし、Oは原点を表す。

(1) 放物線C上の点A

(

とする)に対して

，

とおく。rをθ を用いて表せ。

(2) 放物線C上にn個の点

，

，･･･，

を

かつ

(

)

を満たすようにとる。極限

を求めよ。

解答　放物線

の焦点は

，準線は

です。
(2)は、

は気がつけても、

だと気がつきにくいかも知れません。試験会場では、

を微分してみるとよいと思います。

(1) C：

は、

と書くと、焦点はF

，準線は

です。

から準線に垂線AHを下ろすと、H

です。
FからAHに垂線FKを下ろすと、

ですが、

について、

放物線上の点Aから焦点Fまでの距離と、点Aから準線までの距離AHは等しいので、

∴

......[答]
追記．ここで得られた関係式は、放物線の、焦点Fを極とする極座標表示になっています。曲線上の点Aと定点Fまでの距離AF，Aから定直線に下ろした垂線をAHとして、

が定数になるとき、eを離心率と言います。この問題では、

であって、曲線は放物線になります。

では、曲線は楕円になり、

では双曲線になります。定点Fを焦点、定直線を準線と言います。なお、極座標を参照してください。

(2) (1)で導いた関係式で、

のとき、

だとして、

　(

のとき、

，

と見て定積分に直します。区分求積法を参照)

とおくと、

，x：

のとき、θ ：

　(置換積分を参照)

　(半角の公式を使用)

......[答]

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