神戸大理系数学'08年後期[5]

nを自然数とする。つぼの中に、1の数字を書いた玉が1個、2の数字を書いた玉が1個、3の数字を書いた玉が1個、・・・、nの数字を書いた玉が1個、合計n個の玉が入っている。つぼから無作為に玉を1個取り出し、書かれた数字を見て、元に戻す試行をn回おこなう。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 試行をn回行ったとき、kの数字が書かれた玉をちょうどk回取り出す確率をとする。kの式で表せ。ただし、とする。
(2) (1)で求めた,・・・,について、
とおく。このについて、極限の値を求めよ。

解答 ですが、なので、注意してください。

(1) n回中kkの数字が書かれた玉を取り出し(確率)、残りの回はk以外の数字が書かれた玉を取り出し(確率)ます。この確率は、反復試行の確率の公式より、
......[]

(2)
 (Σでkが動く範囲に注意)
 (二項定理を参照)
 (極限の公式を参照)
これより、
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