大阪府大経済数学'08[6]

関数
で定める。
(1) のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ。
(2) k0以上の数とするとき、xの方程式の解の個数を求めよ。

解答 センター試験向けの面倒な計算問題です。なお、2次関数微分法の方程式への応用を参照してください。

(1)
絶対値記号の内側の正負で場合分けをするために、
と場合分けします。
においては、
 ・・・@
においては、
 ・・・A
においては、
 ・・・B
においては、
 ・・・C


と@を連立すると、

においては、
とAを連立すると、

においては、 (接点)
とBを連立すると、

においては、 (接点)
とCを連立すると、

においては、
以上より、のグラフとで囲まれた部分は、右図黄色着色部分。
右図のように、のグラフとで囲まれた部分のうち、の部分の
面積の部分の面積をの部分の面積をとして、





求める面積は、
......[]

(2) xの方程式の解の個数は、を連立したときの解の個数に一致し、曲線と原点を通る直線の共有点の個数に一致します。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。このとき(1)より、は、の部分とはにおいて、の部分とはにおいて接します。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。
の各々について、曲線と直線の位置関係は右図のようになります。各場合で両者の共有点の数を数えることにより、
xの方程式の解の個数は、
のとき
0個,のとき1個,のとき2個,のとき3個,のとき4個,のとき3個,のとき2 ......[]


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