愛媛大理数学'08[5]

行列AEO
とする。ここで、abcdは実数で、ある実数kに対して、
をみたしている。
(1) を示せ。
(2) とおく。自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
(3) のとき、 (nは自然数)を求めよ。

解答 固有値重解型の行列の累乗の問題です。素直に対角化したり、スペクトル分解したりするのでは解決できないので、特殊な技巧が必要になります。本問では、(2)でその技巧が提示されていて、(2)を利用してを求めることになります。

(1) ハミルトン・ケーリーの定理と、より、
 ・・・@
よって、

(2) 数学的帰納法により示します。
(T) のとき、
より、成り立ちます。
(U) のとき、
が成り立つと仮定します。この両辺に左からAをかけて、
@より、なので、


よって、のときにも成り立ちます。
(T)(U)より、自然数nに対して、が成り立ちます。

別解 と書けて、
 (つまり、は積について交換できる)
ので、二項定理より、
 ・・・A
(1)より、なので、のとき、
です。これより、Aでは、のところだけが生き残って、

(3) のとき、ハミルトン・ケーリーの定理より、
となるので、(1)の場合になります。
また、(2)の結果でとすることにより、
......[]

追記.固有値重解型の行列の累乗の問題を初めて見る受験生には、(2)の別解は、あまりに技巧的と映るかも知れませんが、最近少なくなったとは言っても、ポピュラーで古典的な技巧なので、スペクトル分解の形と見比べながら頭に入れておいてください。例えば、早大理工'92[1]

とする。条件をみたす整数
abcdを成分とする行列を適当に選ぶとき、が成り立つ。このとき、
(1) xyを求めよ。
(2) ()を求めよ。

では、(1)は、実質的に整数問題なので、
の左からPをかけて、


 ・・・@
3式より、 ・・・A
これを第
1式×に代入すると、より、

......[]
Aより、
@の第
4式より、
これとより、

y2の約数ですが、より、こうなるのは、のときのみです。
......[]
とすることになりますが、(2)は、(1)と無関係に、
ハミルトン・ケーリーの定理より、 ・・・B
として、二項定理より、

Bより、では、となるので、


......[]
とするべきです。

さて、
2008年度の入試問題で、言わば「行列の漸化式」を考えるようになっている問題が目に付くので、まとめておくことにします。以下、BCDPQ2次の正方行列、E2次の単位行列として考えることにします。


という漸化式は、言ってみれば、公比
Bの等比「行列」列のようなものですが、これは、数列と同じく、一般項

です。


2項間漸化式
 ・・・@
は、数列の場合と同様に、
Dに置き換えた
 ・・・A
を考えると、

従って、存在すれば

として、@−Aを作ると、

「行列」列は、公比
Bの等比「行列」列なので、


となり、行列の累乗の問題として求めれば、数列の場合と全く同様にして解答できます。
が存在しない場合は、数列の場合のようには行きません。として、@の項番号を
1つずつ小さくしてBを順次かけた式を作り、



 ・・・・・・

これらを足し合わせると、両辺の,・・・,が消し合って、
 
()
が存在しないとき、Bは固有値1をもっています。もう1つの固有値をuとしてであれば、

を解き、

(スペクトル分解を参照)より、

 
()
 ()
となります。
固有値
1が重解になっている()場合は、本問愛媛大(2)の結果を用いて、





 ()

3項間漸化式
 ・・・B
では、かつが存在すれば、Bを、
 ・・・C
 ・・・D
2通りに書き換えて、
が公比
Cの「行列」列であることから、
 ・・・E
が公比
Bの「行列」列であることから、
 ・・・F
E−Fとしてを左からかけることにより、

と、数列と同様に求めることができます。
のときにはDは作れますがCが成立しません。Fは使えるので、が存在しない場合も含めて以下のようにします
(このタイプの問題は、山口大医'08[4]を参照)
として、Fの項番号を
1つずつ小さくしてCをかけた式を順次作り、


 ・・・・・・

これらを足し合わせると、左辺の,・・・,が消し合って、

 ()
の形を求めれば、を求めることができます。

以下に
2項間漸化式の場合の問題例を挙げます。

金沢大理工
'08年前期[1]

自然数
nに対して、2次正方行列
 ()
により定める。また、2次正方行列
 ()
を満たすとする。次の問いに答えよ。
(1) 数学的帰納法を用いて
 ()
が成り立つことを示せ。
(2) ある2次正方行列Cに対して、がすべてのnについて成り立つとする。このとき、Cを求めよ。
(3) (2)の条件をみたすのうち、逆行列をもたないものはに限ることを示せ。

解答
(1) (T) のとき、
より成り立ちます。
(U) のとき、
が成り立つと仮定します。
より、のときも成り立ちます。
(T)(U)より、
 ()
が成り立ちます。
注.として、ハミルトン・ケーリーの定理より、
より、Dの固有値は23で、を連立すると、

ここからも、
となります。

(2) として、
 ・・・@
Gと置き換えた式
 ・・・A
より、
を左からかけて、
@−Aより、
(1)と全く同じ形の漸化式に従っています。
 ・・・B
となるので、同様に、
 ・・・C
 ・・・D
Dがすべてのnについて成り立つとすれば、においても成り立つので、
においても成り立つので、
として、

これらを満たす
abcdは、のみで、

逆に、のとき、すべてのnについてDが成り立ちます。
......[]

(3) (2)よりなので、Cにおいて、
Bより、
の行列式は、
のとき、
のとき、より、
よって、の中で逆行列をもたないものはに限ります。

阪大理系'08年前期[1]

2次の正方行列,・・・を
()
で定める。ただし、O2次の零行列、BC2次の正方行列とする。
(1) BCを用いて表せ。ここでE2次の単位行列とする。
(2) BC
とするとき、を求めよ。

解答 Cの累乗に規則性があるので、この問題は誘導通りに解答します。

(1) 与えられた漸化式を用いて、を計算してみます。
なので、 ・・・@
 ・・・A




これより、
 ()
と予測できます。
(T) のとき、Aより予測は成り立ちます。
(U) のとき、予測が成り立つとして、



よって、のときも予測は成り立ちます。
(T)(U)より、において予測は成り立ちます。
......[]

(2) (1)の結果の中にCの累乗が出てくるので、,・・・ を調べてみます。

従って、n0以上の整数として、
(1)より、
右からをかけて、
......[]
追記.2項間漸化式のようにしてやろうとすると、行列Cの固有値が虚数()になり、うまく行きません(高校範囲外であれば行列の成分に虚数が出てきてもよいのですが)

広島県大
'08[5]

条件
()で定められる2次の正方行列を考える。ここで、である。
(1) を求めよ。
(2) 数学的帰納法により、は逆行列をもつことを示せ。
(3) を示せ。
(4) を求めよ。

解答 数列であれば、


という漸化式で、両辺の逆数を考え、

とすると、が等差数列になる、というタイプのものです。
行列では、逆行列を考えると等差数列と類似の形が出てきます。


(1) ......[]

(2) (T) のとき、(1)よりは逆行列をもちます。
(U) のとき、が逆行列をもつと仮定します。
問題文の漸化式でとして、
右からをかけると、
これは、の逆行列がであることを意味します。 ・・・@
よって、も逆行列をもちます。
(T)(U)より、は逆行列をもちます。

(3) @より、

(4) (3)の結果を繰り返して使うことにより、
......[]

九州工大工'08年前期[3]

行列
AB
とする。2次の正方行列 ()
により定める。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) とする。すべての自然数nに対して
が成り立つことを数学的帰納法によって示せ。
(3) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(4) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(5) 自然数nに対してを求めよ。

解答 行列の連立漸化式ですが、数列の連立漸化式と同じ感覚でできます。

(1)
......[]
......[]

(2)
(T) のとき、より成り立ちます。
(U) のとき、が成り立つと仮定します。
よって、のときも成り立ちます。
(T)(U)より、すべての自然数nに対して、が成り立ちます。

(3)  ・・・@
 ・・・A
@+Aより、


......[]

(4) @−Aより、
(3)と同様にして、





(5)
......[]


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