電通大数学'08年後期[2]

関数を用いて
, 
と媒介変数表示されるxy平面上の曲線をCとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) に対応するC上の点の座標を求めよ。
(2) の範囲での増減を調べ、曲線Cに対応する部分の概形を描け。
(3) C上の点をx軸に関して対称移動するとC上の点に移ることを示せ。
(4) C上の点を原点を中心としてだけ回転すると、C上の点に移ることを示せ。
(5) 曲線Cの概形を描き、Cで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

解答 曲線C上の点Pの座標は、
と書けるので、半径2の円周上の点Qとして、
です。曲線Cは、右図のように、半径3の円周の内側を滑ることなく接触を保ちながら転がる半径1の円(はじめ右図Aと接していた)上の点P(はじめAにいた)が描く曲線です。ハイポサイクロイドと呼ばれています。

(1) のとき、より、
......[]
のとき、より、
......[]
のとき、より、
......[]

(2)  (微分法の公式を参照)
0


3
0


0

 
θ のとき、x座標は減少しy座標は増加する(関数の増減を参照)ので、点Pからまで、左上に向かって進んでいきます。
曲線
Cに対応する部分の概形は右図黒線。

(3) C上の点はと表せるので、C上の点C上に移るということは、移った先の点もという形に書ける、ということです。
C上の点x軸に関して対称移動するとに移ります。
となるので、移った先もC上の点です。つまり、C上の点をx軸に関して対称移動するとC上の点に移ります。

(4) 原点を中心とする角の回転を表す行列は、です(1次変換を参照)
この回転移動によって、C上の点は、

 (加法定理を使用)
ここで、2項目の方を、を使い、
と変形すると、
となるので、C上の点に移ります。

(5) 曲線C接線の傾きを調べます。媒介変数表示された関数の微分法を用いて、
 ・・・@
のとき、曲線Cの接線の傾きは、
より、0に近づきます。を通る傾き0の直線は、,つまり、x軸です。
のとき、曲線
Cの接線の傾きは、
より、に近づきます。を通る傾きの直線: は原点を通ります。(4)から考えると、この点で曲線Cは尖っている(尖点と言います)ことがわかります。また、点,点も尖点です。曲線Cの概形は右図黒線。
注.上記で「のときの接線の傾き」としないのは、で、において、媒介変数表示された関数: 
(xの関数y)は、微分可能ではないからです。また、凹凸も調べるために、を計算してみます。媒介変数表示された関数では、工夫が必要です。ですが、@を見ると、θ の関数の形で表されているので、合成関数の微分法を使って、θ で微分し、を後でかけることになります。は、逆関数の微分法の公式より、です。


においては、(2)の増減表よりなので、より、曲線Cは下に凸です。試験会場では、ここまで調べなくても、に対応するC上の点から概形を描くことができるでしょう。

面積は、曲線
Cの対称性を利用して、右図で、曲線Cと線分OA,線分OBで囲まれる部分(黄色着色部分)の面積3倍することにします。は曲線Cの部分とx軸、直線で囲まれる部分の面積から右図の三角形OBH(水色着色部分)の面積を引くことにより求めます。

 (定積分と面積を参照)
xyとも媒介変数θ で表されているので、θ の積分に変えるために置換積分します。とおくと、xのとき、θ


 (半角の公式を使用)




......[]


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