因数定理    関連問題

剰余の定理
:多項式で割ると、余りは

[証明] 多項式で割ったときの商を,余りをRとします。
1次式で割るので、余りは定数です(多項式の除算を参照)
このとき、
ここで、とすると、

よって、多項式で割ると、余りは 
(証明終)

1.多項式で割ると3余り、で割ると余るという。で割った余りを求めよ。
[解答] で割ると3余るから、 ・・・@ とおけます。
で割ると余るから、剰余の定理より、です。
@において、とすると、

これより、で割ると2余るので、とおけます。
これを@に代入すると、

 
 
よって、で割った余りは、
......[]
[
別解] 2次式で割った余りは1次式なので、とおくと、
 ・・・A
で割ると
3余るので、Aでとして、剰余の定理より、 ・・・B
で割ると余るので、Aでとして、剰余の定理より、 ・・・C
B−Cより、 ∴

Bより、
これより求める余りは、
......[]

多項式で割ったときの商を,余りをRとして、

ここで、とすると、

即ち、多項式で割ったときの余りは、です。



因数定理:多項式で割り切れる

[
証明] 剰余の定理より、で割ったときの余りは
割り切れるとき、余り
逆に、のとき、で割ったときの商をとして、

よって、で割り切れます。 
(証明終)

因数定理を用いて、因数分解する方法を考えます。
多項式:について、であれば、で割り切れるので、
xに適当な数値aを代入して、となるものを探します。
無方針に探してもなかなか見つからないときもあるので、の定数項を
c,最高次の項の係数をdとして、cの約数を分子、dの約数を分母とする分数をaとして、を計算し、となれば、で割り切れます。

2を因数分解してみます。
定数項の
36の約数は、1234,・・・
最高次の項の係数
4の約数は、124
まず1を分母にするものから、123,・・・,と順に代入していきます。
より、で割り切れません。
より、で割り切れません。
より、で割り切れます。
で割りますが、
1次式で割るときの割り算は、右図のように組み立て除法によるのが便利です。
で割るので、まず、割られる式の係数を抜き出して書き、
3 (xから引く数)をどこかに、見間違いをしないように書きます(1)
4の下に0 (最初は0です)を書き、40の和4をその下に書きます(2)
先の和の
43をかけた120の下に書き、012の和12をその下に書きます(3)
先の和
123をかけた36の下に書き、36の和17をその下に書きます(4)
先の和
173をかけた51の下に書き、51の和12をその下に書きます(5)
先の和
123をかけた36の下に書き、36の和0をその下に書きます(6)
最後の
0が実は多項式の除算の余りです。余りがあれば0になりません。この0を除いた残りの、4121712は商の各項の係数です。
従って、商は、となります。
の因数分解を考えます。
xに正数を代入しても0にならないのは明らかです。
xに負数を代入していきます。
,・・・
そこで、分母を
2にしてみます。

これより、で割り切れます。このときの組み立て除法は、で割ると考えて右下図のようにやります。
商は、となり、

 
と因数分解されました
(は実数の範囲では因数分解できません)


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