ド・モアブルの定理    関連問題

iを虚数単位、θを実数、nを整数として、
      
・・・@
が成り立つ。

[証明] まず、nが自然数の場合について、数学的帰納法で証明する。
(T) のとき、@は成り立つ。
(U) のとき成り立つとして、
 両辺にをかけて、

 
 
 よって、のときにも@は成り立つ。

(T)(U)より、nが自然数のときには@は成り立つ。

(V) nが負の整数のとき、として、
 
(分母の実数化を行った)
 
(W) のときは明らかに@は成り立つ。
(T)(W)より、nを整数として、@が成り立つ。(証明終)

ド・モアブルの定理を、z0でない複素数、nを整数として、ということもできる(z偏角)


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