3次関数の増減    関連問題

のとき、3次関数: (cは実数の定数)を考える。
 
(微分・導関数を参照)
とすると、
増減表は、
x
α
β
00
極大値:,極小値:
においては、は単調増加
(ということは接線の傾きが正で、グラフが右上がりになることを意味する)
においては、は単調減少 (ということは接線の傾きが負で、グラフが右下がりになることを意味する)
(
このことの証明は、単調増加関数・単調減少関数を参照)
において、となるが、xからに変化するとき、の符号が+から−に変化し、は増加から減少に切り替わる。の周辺ではのグラフはにおいて最大になっている(全実数xでは最大ではない)。このようなとき、において極大であると言い、極大値と言う。
において、となるが、
xからに変化するとき、の符号が−から+に変化し、は減少から増加に切り替わる。の周辺ではのグラフはにおいて最小になっている(全実数xでは最小ではない)。このようなとき、において極小であると言い、極小値と言う。
極大値と極小値をまとめて、
極値と言う。

注.は、において、が極大、極小になることの必要条件でも十分条件でもありません
(条件・命題を参照)
において極大 ⇔ 十分小さな
hをとるとき、となるすべてのxに対して、
において極小 ⇔ 十分小さな
hをとるとき、となるすべてのxに対して、
また、のような関数では、で、ですが、において、は極大でも極小でもありません。このような場合、のような点を停留点と言います。
通常の関数では、
(接線の傾きが0で、接線がx軸に平行になることを意味する)となるときにが極値をとることが多いので、となるところを探します。

例.
3次関数:の増減を考えます。
の導関数は、
の解は、
ここで、の符号を調べるとの増減がわかるので、増減表と呼ばれる表を作ります。
最上行は
xの欄、2行目は導関数の欄、最下行はの欄です。
xの欄に、少し間隔をあけて、の解を左から小さい順に、ここでは、2を書き込みます。
なので、に対応するの欄に
0を書き込みます。の欄には、を書き込みます。
のとき、なので、に対応するの欄に+を書き込みます。の欄には、が単調増加で右上がりのグラフになることを示す記号を書き込みます。
のとき、なので、に対応するの欄に−を書き込みます。の欄には、が単調減少で右下がりのグラフになることを示す記号を書き込みます。
のとき、なので、に対応するの欄に+を書き込みます。の欄には、を書き込みます。
こうして、以下のような増減表ができます。

x

2
00
12
この表だけで、のグラフの概形(右図)が想像できてしまいます。
また、極大値が,極小値がであることもわかります。

さて、上記の例においては、
3次関数が、極大値と極小値を持ちましたが、3次関数は必ずしも極値をもつとは限りません。
3次関数の増減(2)を参照してください。


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