3次方程式    関連問題

3次方程式: (abcdは実数,) ・・・@
の解は、左辺が因数分解できるなら、より、
3解です。
このとき、
より、係数比較して、が成立します
(解と係数の関係と言います)
因数分解の過程で、となるとき、または,ですが、の場合、は実数解を持ちません。このときは、
3次方程式の実数解はのみです。複素数の範囲では、 (iは虚数単位)2個の複素数解があります。
因数分解がすぐにできない場合には、
因数定理を利用します。aの約数mdの約数nから有理数を作り、@の左辺のxに代入して0になるかどうか確かめます。0になれば、という解があり、と因数分解されます。

3次関数を考えます。ここでは、とします。
のグラフは全実数
xに対して連続で、 ・・・A より、少なくとも1となるxがあり、3次方程式は少なくとも1つの実数解を持ちます。

として、

のとき、は、2個の実数解st ()を持ちます。増減表は以下のようになります。
x
s
t
00
(a) のとき、つまり、かつのとき、Aと合わせて、3次方程式は、1実数解、1実数解、1実数解、合わせて3実数解を持ちます。
(b) のとき、3次方程式は、1実数解、重解を持ちます。
(c) のとき、3次方程式は、重解1実数解を持ちます。
(d) のとき、なら、3次方程式は、1実数解を持ちます。なら、3次方程式は、1実数解を持ちます。
のとき、またはですが、は単調増加関数で、3次方程式は、ただ1つの実数解を持ちます。

3次方程式の一般解法は、16世紀の数学者カルダノの方法が知られています('94日本医科大に出題)
まず、
3次方程式のの係数で方程式を割って、の係数を1にします。

になったとします。ここで、と置いて、


として、
2乗の項を消します。さらに、とおくと、

2個目のカッコ内を因数分解するために、13乗根を導入します。より、となるので、


 ( )

こうして、
 ・・・B
[1] では、として、
とおくと、

整理して、

sの係数を (),定数項を ()とおくと、
となり、Bが
3解を与えます。より、は、2解で、
とすると、
Bに代入すると、



こうして、
3次方程式の解は、
[2]  (上記の'94日本医科大で出題された方程式)では、として、
とおくと、

整理して、

sの係数を (),定数項を ()とおくと、
となり、Bが
3解を与えます。より、は、2解で、
とすると、
Bに代入すると、



こうして、
3次方程式の解は、



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