センター数学IIB '13年第4問 

である平行四辺形OABCにおいて、線分OA32に内分する点をDとする。また、点Aを通り直線BDに垂直な直線と直線OCの交点をEとする。ただし、とする。
以下、とおき、実数
t を用いてと表す。

(1) t を用いて表そう。
となるので、により
 ・・・@
となる。

(2) Eは線分OC上にあるとする。θ のとり得る値の範囲を求めよう。ただし、線分OCは両端の点OCを含むものとする。以下、とおく。
Eが線分OC上にあることから、である。なので、@の右辺のrに置き換えた分母は正である。したがって、条件
 ・・・A
となる。
rについての不等式Aを解くことにより、θ のとり得る値の範囲は
であることがわかる。

(3) とする。直線AEと直線BDの交点をFとし、三角形BEFの面積を求めよう。@により、となり
となる。したがって、点Fは線分AE1に内分する。このことと、平行四辺形OABCの面積はであることから、三角形BEFの面積はである。

解答 問題構成が昨年までと変わり、この問題で三角関数を扱っている関係もあり、(3)はセンター試験としてはやや難度が高くなっています。

(1)  ・・・B
 ・・・C (ベクトルの1次独立を参照)
() 2 () 5 ......[]
 ・・・D (内積を参照)
() 2 () 0 ......[]
より、
() 0 ......[]
Dを用いて、

 ・・・@
() 5 () 2 () 4 () 2 ......[]

(2) Aより、
左の不等号より、 ∴
右の不等号より、 ∴
よって、 ∴  (三角関数を含む不等式を参照)
(
) 3 () 2 () 3 ......[]

(3) @より、
() 1 () 2 ......[]
よって、となり、EOCの中点。
Bを用いて、とおくと、
 ・・・E
また、FBD上の点なので、
 ・・・F
E,Fの係数を比較して、

Eより、

() 2 () 3 () 1 () 6 ......[]
より、FAE12に内分する点です。
() 2 ......[]
平行四辺形OABCの面積は、
 (三角形の面積を参照)
() 1 () 5 () 7 () 2 ......[]
三角形BEFの面積は、
() 5 () 7 () 2 ......[]


   センター数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元