センター数学IIB '13年第2問 

aを正の実数として、xの関数
とする。
関数は、で極大値をとり、で極小値をとる。このとき、
2
と原点を通る放物線
Cとする。原点におけるCの接線の方程式は
である。また、原点を通りに垂直な直線mの方程式は
である。
x軸に関して放物線Cと対称な放物線
Dとする。Dで囲まれた図形の面積S
である。
放物線
Cと直線mの交点のx座標は、0である。Cmで囲まれた図形の面積をTとする。となるのはのときであり、このとき、である。


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解答 以前の微積の問題と比べるとかなり計算しやすくなっていますが、面積以降はかなり煩雑です。



x

a
00
で極大値をとり、で極小値をとる(3次関数の増減を参照)
() − () a () 3 () 3 () a () − () 3 ......[]
放物線Cの方程式を、とすると、
原点を通るので、
を通るので、
を通るので、

C
() a () 2 () 2 ......[]
原点におけるC接線の傾きは、
() − () 2 () 2 ......[]
原点を通りに垂直な直線mの傾きは、
m
() 2 () 2 ......[]
x
軸に関して放物線Cと対称な放物線D
Dを連立すると、 ∴
Dで囲まれた図形の面積Sは、
 (定積分の公式を参照)
() 3 () 2 () 3 () 4 ......[]
C
mを連立すると、 ∴
() 4 () 3 ......[]
C
mで囲まれた図形の面積Tは、
とすると、 ∴
() 1 () 4 () 8 () 3 ......[]


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