センター試験数学IA 2006年問題 


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[1][1] 2次方程式の解がαβ で、とするとき、
   
である。また、
   を満たす整数
mの値は
   を満たす整数
nの値は
である。
 次に、
   
であり、
   
である。


[2] aは実数とし、b0でない実数とする。abに関する条件pqrを次のように定める。
   
p: abはともに有理数である
   
q: はともに有理数である
   
r: は有理数である
(1) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。
   条件
pの否定である。
   「
abはともに有理数である」
   「
abはともに無理数である」
   「
abの少なくとも一方は有理数である」
   「
abの少なくとも一方は無理数である」

(2) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。
   条件「
qかつr」は条件pが成り立つための
   必要十分条件である
   必要条件であるが十分条件ではない
   十分条件であるが必要条件ではない
   必要条件でも十分条件でもない


(3) 次ののうち、正しいものはである。
   「」は真、「」の逆は真、「」の対偶は真である。
   「」は真、「」の逆は真、「」の対偶は偽である。
   「」は真、「」の逆は偽、「」の対偶は真である。
   「」は真、「」の逆は偽、「」の対偶は偽である。
   「」は偽、「」の逆は真、「」の対偶は真である。
   「」は偽、「」の逆は真、「」の対偶は偽である。
   「」は偽、「」の逆は偽、「」の対偶は真である。
   「」は偽、「」の逆は偽、「」の対偶は偽である。

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[2] 2次関数
    ・・・・・・@
について考える。
 @において、となる
xの値の範囲は
   
である。
 @のグラフを
x軸方向にay軸方向にbだけ平行移動して得られるグラフをGとする。Gが原点を通るとき、
   
であり、このとき
Gを表す2次関数は
    ・・・・・・A
である。
 に対応する
2次関数Aの値が等しくなるのは
   
のときである。このとき、
2次関数Aのにおける
   最小値は,最大値は
である。

[解答へ]


[3] 下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、
   
とする。
 このとき、であり、である。
また、三角形
AFHの面積はである。
 次に、の二等分線と辺
AHの交点をPの二等分線と辺FHの交点をQ,線分FPと線分AQの交点をRとする。このとき、Rは三角形AFHである。次ののうちからに当てはまるものを一つ選べ。
    重心   外心   内心
 また、であり、したがって、
   
PFPR 1
となる。さらに、四面体EAPRの体積はである。
[解答へ]


[4] 袋ABCDがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋ABCDからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれabcdとする。
(1) abcdの最大の数が3以下である場合は通りあり、最大の数が4である場合は通りある。
(2) abcdについて、となる場合は通りある。
(3) 出た数abcdによって、次のように得点を定める。
   のときは、
   それ以外のときは、
0
 
(i) 得点が1点となる確率はであり、得点が4点となる確率はである。
 
(ii) 得点の期待値は点である。
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