センター試験数学IA 2006年問題
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[1][1] 2次方程式の解がα,β で、とするとき、
,
である。また、
を満たす整数mの値は
を満たす整数nの値は
である。
次に、
であり、
である。
[2] aは実数とし、bは0でない実数とする。aとbに関する条件p,q,rを次のように定める。
p: a,bはともに有理数である
q: ,はともに有理数である
r: は有理数である
(1) 次のに当てはまるものを、下の〜のうちから一つ選べ。
条件pの否定はである。
「a,bはともに有理数である」
「a,bはともに無理数である」
「a,bの少なくとも一方は有理数である」
「a,bの少なくとも一方は無理数である」
(2) 次のに当てはまるものを、下の〜のうちから一つ選べ。
条件「qかつr」は条件pが成り立つための。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない
(3) 次の〜のうち、正しいものはである。
「」は真、「」の逆は真、「」の対偶は真である。
「」は真、「」の逆は真、「」の対偶は偽である。
「」は真、「」の逆は偽、「」の対偶は真である。
「」は真、「」の逆は偽、「」の対偶は偽である。
「」は偽、「」の逆は真、「」の対偶は真である。
「」は偽、「」の逆は真、「」の対偶は偽である。
「」は偽、「」の逆は偽、「」の対偶は真である。
「」は偽、「」の逆は偽、「」の対偶は偽である。
[解答へ]
[2] 2次関数
・・・・・・@
について考える。
@において、となるxの値の範囲は
である。
@のグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動して得られるグラフをGとする。Gが原点を通るとき、
であり、このときGを表す2次関数は
・・・・・・A
である。
とに対応する2次関数Aの値が等しくなるのは
のときである。このとき、2次関数Aのにおける
最小値は,最大値は
である。
[解答へ]
[3] 下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、
,,
とする。
このとき、であり、である。
また、三角形AFHの面積はである。
次に、の二等分線と辺AHの交点をP,の二等分線と辺FHの交点をQ,線分FPと線分AQの交点をRとする。このとき、Rは三角形AFHのである。次の〜のうちからに当てはまるものを一つ選べ。
重心 外心 内心
また、であり、したがって、
PF:PR = :1
となる。さらに、四面体EAPRの体積はである。
[解答へ]
[4] 袋A,B,C,Dがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋A,B,C,Dからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれa,b,c,dとする。
(1) a,b,c,dの最大の数が3以下である場合は通りあり、最大の数が4である場合は通りある。
(2) a,b,c,dについて、となる場合は通りある。
(3) 出た数a,b,c,dによって、次のように得点を定める。
のときは、点
それ以外のときは、0点
(i) 得点が1点となる確率はであり、得点が4点となる確率はである。
(ii) 得点の期待値は点である。
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