余弦定理    関連問題

第1余弦定理

右図のにおいて、




[証明] 頂点Aから対辺BCに下ろした垂線の足をHとします。
より、

同様に、頂点
Bから対辺CAに垂線を下ろすことにより、

頂点
Cから対辺ABに垂線を下ろすことにより、

(証明終)
(
三角比三角比の拡張を参照)


第2余弦定理
右図のにおいて、




2余弦定理がいわゆる「余弦定理」です。
[証明] 第1余弦定理より、
・・・@
・・・A
・・・B
Aより、,Bより、
@に代入すると、

分母を払って整理すると、
同様にして、@,Bで得られたをAに代入することにより、
@,Aで得られたをBに代入することにより、

(証明終)

余弦定理において、ABCのいずれかが直角であれば、のいずれかがゼロであり、三平方の定理になります。

余弦定理を変形すると、
3辺の長さから、三角形の内角の余弦を求める公式が得られます。




例.
3辺が、である三角形の頂角Aの大きさを求めます。
余弦定理より、
よって、
......[]


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