剰余類    関連問題

整数nを自然数mで割るとき、商がs,余りがrだとします。です。
ここで、余り
rm以上にはならず、のどれかです。
つまり、整数の集合を
Zmで割ったとき、余りが0となる整数の集合を,余りが1となる整数の集合を,・・・,余りがとなる整数の集合をとすると、,・・・,のどの2 ()をとっても、であるとともに、です。
この性質により、全ての整数を
m通りに分類することができます。全ての整数に関する性質であっても、全ての整数に対して考える必要はなく、m通りの分類について考えれば十分です。

[1] 3個の整数xyzに対して、が成り立つとき、xyのどちらかは3で割りきれることを証明します。
全ての整数は、
3で割った商をs,余りをr ()として、の形に書けます。として、

のときのとき
のとき
つまり、
3で割ると、2余るということはありません。についても3で割ると2余ることはありません。
xyがともに3で割り切れないと仮定すると、もともに3で割ると1余るので、3で割ると2余ります。これは、3で割ると2余ることがない、ことに矛盾します。よって、xyがともに3で割り切れない、とした仮定は誤りで、xyのどちらかは3で割りきれます。 (証明終)

[
2] 整数の3乗、あるいは、整数の3乗に1を加えるか引くかした整数のいずれかは9で割りきれることを証明します。
整数を、
3で割った商をs,余りをr ()として、と書くと、

のとき、なので、
9で割り切れます。
のとき、なので、
9で割り切れます。
のとき、なので、
9で割り切れます。
これで全ての場合を尽くしました。 
(証明終)

n
を自然数mで割って余りがrであることを、と表す(nmを法としてrと合同である」と読みます)記法があります。これを合同式と言います。答案を簡潔に書くのに便利です。なお、rに限りません。
mの倍数
です。,すべて正しい合同式です。
sを整数として、

です。なお、合同式には、以下の性質があります。
kを自然数とするとき、
 ・・・
()

合同式を用いて、[1]を証明すると、
のとき、
のとき、
のとき、

xyがともに3で割り切れないと仮定すると、,または、ですが、このとき、
同様に、となりますが、とはなり得ず、が成立しません。よって、仮定は誤りで、
xyのどちらかは3で割りきれます。 (証明終)
のように、簡潔に答案を書くことができます。

[2]のように、mod.3mod.9が両方出てくる場合には、()のようには行かないので、mod.9に統一して答案を書く必要があります。



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