複素数の図形的応用    関連問題

複素数の図形的応用を考えます。
[1] なす角:異なる3に対し、です。
に対し、を求めます。



よって、

[2] 直角二等辺三角形の条件3が、となる直角二等辺三角形をなす条件を求めます。
よりより
より、

よって、

[3] 正三角形の条件3が正三角形をなす条件を求めます。
AB=BCかつであることが条件です。すなわち、より、
とおくと、 ∴

よって、より、
をかけて、
展開して整理すると、


[4] 一直線上にある条件:異なる3が一直線上にある条件を求めます。
ABCがこの順に一直線上に並ぶときBACがこの順に一直線上に並ぶとき
これより、
は実数
分母を払って、
展開して整理すると、


[5] 平行条件垂直条件:異なる4に対して、
AB // CD が実数
AB CD が純虚数

[
6] 線対称な点:原点Oと点を結ぶ直線に関して点と対称な点を求めます。
として、直線
OPαβを原点Oの回りに反時計回りに角回転させると、実軸、に来ますが、実軸に関して対称な点は互いに共役な複素数になるので、

両辺に
rをかけて、より、 ∴
例えば、原点Oと点Pを結ぶ直線に関して点Aと対称な点Bを求めると、として、

よって、
B

[
7]  ()を満たすzは、αを中心とする半径rの円周を描きます。
という形の式があるとき、まず、でくくると、
さらにでくくれるように変形して、
 ∴

この式は、のとき、αを中心とする半径の円周を描きます。
例えばとして、点までの距離と点


[8] 変換:単位円上の点が、変換 (は複素数) ・・・@ によって移る図形を求めます。とします。
@を
zについて解くと、 ∴
に代入すると、 ∴ 
この式は、点
wと点との距離と、点wと点αとの距離の比が1であることを意味します。
のとき、点
wは、点と点αの垂直二等分線上の点になります。
のとき、点wは、点と点α1の比に内分する点1の比に外分する点を直径の両端とする円(アポロニウスの円)周上の点になります。



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