三角形の五心 関連問題
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△ABCについて、
(1) 重心：各頂点と対辺の中点とを結ぶ3本の線分(中線と言う)は1点で交わり、この交点を重心と言う。
(2) 内心：3つの頂角の二等分線は1点で交わり、この交点を内心と言う。内心は△ABCの内接円の中心。
(3) 外心：3辺の垂直二等分線は1点で交わり、この交点を外心と言う。外心は△ABCの外接円の中心。
(4) 垂心：各頂点から対辺に下ろした3本の直線は1点で交わり、この交点を垂心と言う。
(5) 傍心：内角Aの二等分線、外角Bの二等分線、外角Cの二等分線は1点で交わり、この交点を傍心と言う。傍心は△ABCの傍接円の中心。内角Bの二等分線、外角Cの二等分線、外角Aの二等分線は1点で交わり、この交点も傍心であり、内角Cの二等分線、外角Aの二等分線、外角Bの二等分線は1点で交わり、この交点も傍心である。つまり、傍心、傍接円は、1つの三角形に対して3つずつある。
重心、内心、外心、垂心、傍心を合わせて、三角形の五心と言う。外心O、重心G、垂心Hは一直線上にあって、
正三角形では、重心、内心、外心、垂心は同一の点になる。
(1) 右図の△ABCにおいて、D，Eは、辺BC，辺CAの中点とし、ADとBEの交点をGとします。また、Cを通りBEと平行な直線と直線ADとの交点をHとします。BE // HC，AE = ECより、AG = GH，また、BD = DCより、GD = DH，これより、CG // HB直線CGと辺ABとの交点をFとすると、CF // HB，AG = GHより、AF = FB，よって、Fは辺ABの中点です。
これは、3本の中線AD，BE，CFが、1点Gで交わることを意味します。Gが△ABCの重心です。また、上記より、AG = GH = 2GDであって、AG：GD = 2：1，同様に、BG：GE = CG：GF = 2：1となり、重心Gは中線AD，BE，CFを2：1に内分します。
(2) 右図の△ABCにおいて、
の二等分線と
の二等分線の交点をI，Iから辺BCに垂線IDを下ろし、Iから辺CAに垂線IEを下ろし、Iから辺ABに垂線IFを下ろします。
，
，AI共通、よって、△AFI ≡ △AEI ∴ FI = EI ･･･①
，
，BI共通、よって、△BFI ≡ △BDI ∴ FI = DI ･･･②
①，②より、EI = DI，
，CI共通、よって、△CEI ≡ △CDI ∴ 
，つまり、CIは
の二等分線です。これは、
，
，
の各二等分線が1点Iで交わることを意味します。Iが△ABCの内心です。また、①，②より、Iと3辺AB，BC，CAとの距離は等しいので、Iは△ABCの内接円の中心になります。
(3) 右図の△ABCにおいて、辺ABの中点をD，辺BCの中点をEとして、辺ABの垂直二等分線と辺BCの垂直二等分線の交点をOとします。AD = BD，
，DO共通、よって、△ADO ≡ △BDO ∴ AO = BO ･･･③BE = CE，
，EO共通、よって、△BEO ≡ △CEO ∴ BO = CO ･･･④
③，④より、AO = CO，
，FO共通、よって、△AFO ≡ △CFO ∴ AF = CF，つまり、直線FOは、辺CAの垂直二等分線です。これは、辺AB，辺BC，辺CAの各垂直二等分線が1点Oで交わることを意味します。Oが△ABCの外心です。また、①，②より、AO = BO = COとなり、Oは△ABCの外接円の中心になります。
(4) 右図の△ABCにおいて、Aから対辺BCに垂線ADを下ろし、Bから対辺CAに垂線BEを下ろし、直線ADと直線BEの交点をHとします。DとEは、
より、ABを直径とする円周上の点です。円周角は等しいので、
･･･⑤
一方、DとEは、
より、CHを直径とする円周上の点です。円周角は等しいので、
，つまり、
･･･⑥
⑤，⑥より、
，
共通、よって、△ABE ∽ △ACF ∴ 
、つまり、直線CFは、Cから対辺ABに下ろした垂線です。これは、A，B，Cから対辺BC，CA，ABに下ろした3垂線が1点Hで交わることを意味します。Hが△ABCの垂心です。
(5) 右図の△ABCにおいて、
の外角の二等分線と
の外角の二等分線の交点を
とします。
から直線BCに垂線
を下ろし、
から直線CAに垂線
を下ろし、
から直線ABに垂線
を下ろします。
，
，
共通、よって、△
≡ △
∴ 
･･･⑦
，
，
共通、よって、△
≡ △
∴ 
･･･⑧
⑦，⑧より、
，
，
共通、よって、△
≡ △
∴ 
，つまり、
は
の二等分線です。これは、
の外角，
の外角，
の内角の各二等分線が1点
で交わることを意味します。
が△ABCの傍心です。また、①，②より、
と直線AB，BC，CAとの距離は等しいので、
は△ABCの傍接円の中心になります。
，
についても同様で、△ABCには、3つの傍心と3つの傍接円があります。
右図の△ABCにおいて、辺BCの中点をD，辺CAの中点をE，△ABCの外心をO，重心をGとします。OD⊥BC，OE⊥CA，AG：GD = BG：GE = 2：1です。Aから辺BCに下ろした垂線と直線OGとの交点をHとします。
OD // AHより、GH：OG = AG：GD = 2：1
よって、BG：GE = GH：OG = 2：1より、BH // OE ∴ BH⊥CA
従って、Hは△ABCの垂心です。これより、外心O，重心G，垂心Hは一直線上にあり、
という関係があります。
正三角形ABCにおいては、辺BCの中点をD，辺CAの中点をE，辺ABの中点をFとすると、中線ADは、
の二等分線でもあり、AD⊥BCであって辺BCの垂直二等分線にもなっています。中線BEは、
の二等分線でもあり、BE⊥CAであって辺CAの垂直二等分線にもなっています。
の二等分線でもあり、CF⊥ABであって辺ABの垂直二等分線にもなっています。つまり、3中線の交点である重心Gは、内心にも外心にも垂心にもなっています。
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