三角形の五心    関連問題

ABCについて、
(1) 重心:各頂点と対辺の中点とを結ぶ3本の線分(中線と言う)1点で交わり、この交点を重心と言う。
(2) 内心:3つの頂角の二等分線は1点で交わり、この交点を内心と言う。内心は△ABCの内接円の中心。
(3) 外心:3辺の垂直二等分線は1点で交わり、この交点を外心と言う。外心は△ABCの外接円の中心。
(4) 垂心:各頂点から対辺に下ろした3本の直線は1点で交わり、この交点を垂心と言う。
(5) 傍心:内角Aの二等分線、外角Bの二等分線、外角Cの二等分線は1点で交わり、この交点を傍心と言う。傍心は△ABCの傍接円の中心。内角Bの二等分線、外角Cの二等分線、外角Aの二等分線は1点で交わり、この交点も傍心であり、内角Cの二等分線、外角Aの二等分線、外角Bの二等分線は1点で交わり、この交点も傍心である。つまり、傍心、傍接円は、1つの三角形に対して3つずつある。
重心、内心、外心、垂心、傍心を合わせて、三角形の五心と言う。外心O、重心G、垂心Hは一直線上にあって、
正三角形では、重心、内心、外心、垂心は同一の点になる。


(1) 右図の△ABCにおいて、DEは、辺BC,辺CAの中点とし、ADBEの交点をGとします。また、Cを通りBEと平行な直線と直線ADとの交点をHとします。BE // HCAE = ECより、AG = GH,また、BD = DCより、GD = DH,これより、CG // HB
直線CGと辺ABとの交点をFとすると、CF // HBAG = GHより、AF = FB,よって、Fは辺ABの中点です。
これは、
3本の中線ADBECFが、1Gで交わることを意味します。Gが△ABCの重心です。また、上記より、AG = GH = 2GDであって、AGGD = 21,同様に、BGGE = CGGF = 21となり、重心Gは中線ADBECF21に内分します。

(2) 右図の△ABCにおいて、の二等分線との二等分線の交点をIIから辺BCに垂線IDを下ろし、Iから辺CAに垂線IEを下ろし、Iから辺ABに垂線IFを下ろします。
AI共通、よって、△AFI AEI ∴ FI = EI ・・・@
BI共通、よって、△BFI BDI ∴ FI = DI ・・・A
@,Aより、
EI = DICI共通、よって、△CEI CDI ∴ ,つまり、CIの二等分線です。これは、の各二等分線が1Iで交わることを意味します。Iが△ABCの内心です。また、@,Aより、I3ABBCCAとの距離は等しいので、Iは△ABCの内接円の中心になります。

(3) 右図の△ABCにおいて、辺ABの中点をD,辺BCの中点をEとして、辺ABの垂直二等分線と辺BCの垂直二等分線の交点をOとします。
AD = BDDO共通、よって、△ADO BDO ∴ AO = BO ・・・B
BE = CEEO共通、よって、△BEO CEO ∴ BO = CO ・・・C
B,Cより、
AO = COFO共通、よって、△AFO CFO ∴ AF = CF,つまり、直線FOは、辺CAの垂直二等分線です。これは、辺AB,辺BC,辺CAの各垂直二等分線が1Oで交わることを意味します。Oが△ABCの外心です。また、@,Aより、AO = BO = COとなり、Oは△ABCの外接円の中心になります。

(4) 右図の△ABCにおいて、Aから対辺BCに垂線ADを下ろし、Bから対辺CAに垂線BEを下ろし、直線ADと直線BEの交点をHとします。
DEは、より、ABを直径とする円周上の点です。円周角は等しいので、 ・・・D
一方、
DEは、より、CHを直径とする円周上の点です。円周角は等しいので、,つまり、 ・・・E
D,Eより、共通、よって、△
ABE ACF ∴ 、つまり、直線CFは、Cから対辺ABに下ろした垂線です。これは、ABCから対辺BCCAABに下ろした3垂線が1Hで交わることを意味します。Hが△ABCの垂心です。

(5) 右図の△ABCにおいて、の外角の二等分線との外角の二等分線の交点をとします。から直線BCに垂線を下ろし、から直線CAに垂線を下ろし、から直線ABに垂線を下ろします。
共通、よって、△  ∴  ・・・F
共通、よって、△
 ∴  ・・・G
F,Gより、共通、よって、△
 ∴ ,つまり、の二等分線です。これは、の外角,の外角,の内角の各二等分線が1で交わることを意味します。が△ABCの傍心です。また、@,Aより、と直線ABBCCAとの距離は等しいので、は△ABCの傍接円の中心になります。についても同様で、△ABCには、3つの傍心と3つの傍接円があります。

右図の△ABCにおいて、辺BCの中点をD,辺CAの中点をE,△ABCの外心をO,重心をGとします。ODBCOECAAGGD = BGGE = 21です。Aから辺BCに下ろした垂線と直線OGとの交点をHとします。
OD // AHより、GHOG = AGGD = 21
よって、BGGE = GHOG = 21より、BH // OE ∴ BHCA
従って、Hは△ABCの垂心です。これより、外心O,重心G,垂心Hは一直線上にあり、という関係があります。

正三角形
ABCにおいては、辺BCの中点をD,辺CAの中点をE,辺ABの中点をFとすると、中線ADは、の二等分線でもあり、ADBCであって辺BCの垂直二等分線にもなっています。中線BEは、の二等分線でもあり、BECAであって辺CAの垂直二等分線にもなっています。の二等分線でもあり、CFABであって辺ABの垂直二等分線にもなっています。つまり、3中線の交点である重心Gは、内心にも外心にも垂心にもなっています。



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