微分法の方程式への応用(2)    関連問題

1の解の個数がaの値によりどう変化をするかを調べる。
[解法1] 方程式を、の連立方程式と見て、双方のグラフを調べます。
のグラフは、原点を通る傾き
aの直線です。傾きaを変化させでみます。
の場合には、原点を通る傾き負の直線とは第
2象限で交わります。
従って、解は
1個です。
の場合には、は単調増加かつグラフは下に凸なので、傾き
aを大きくしていくと、aが小さいうちは曲線の下を直線が通過するのに、やがて、直線が曲線に接するようになり、さらにaを大きくすると、直線と2交点をもつようになります。
直線に接するときを調べます。
の導関数は、の導関数は、より、における接線の方程式は、
これが原点を通るとき、

このとき接線の傾きはe
従って、のときは、直線とは交わらず、解は0個。
のときは、直線とが接するので、解は
1個。
のときは、直線と
2交点もつので、解は2個。
のとき
1個、のとき0個、のとき1個、のとき2個。......[]
[
解法2] 定数の分離という技巧を用います。ここでは、定数aを分離するために、与方程式をxで割ります。xで割るときに、という解があるかも知れない、という点に注意します。
与方程式に、を代入しても成り立たないので、は解ではありません。よって、
xで割ると、

という形の方程式になりますが、これを、との連立方程式と見れば、のグラフは
x軸に平行な直線で、これとのグラフの交点の数を考えるのは容易です。
より、増減表は以下の通りで、のグラフは右図。

x
0
1
×0
×e
グラフより、のとき1個、のとき0個、のとき1個、のとき2個。......[]
定数を分離することにより、グラフはやや複雑になりますが、解の個数を数えやすくなります。
2.方程式: ()の解の個数は、の連立と見ると、
であり、
において、で、ともに単調減少ですが、
より、は下に凸、は上に凸なので、にも、となる
αが存在すると断定できます。
従って、解の個数は
2個です。

しかし、以下のように、ある区間で凹凸まで一致してしまう場合には、精密に調べる必要が出てきます。

3.方程式: ()の解の個数を調べます。
の連立と見ると、
において、で、ともに単調増加。
で、ともに上に凸です。
このような場合には、において、解の有無を単純に考えることはできません。右図のように、
2つのグラフが絡み合うような可能性があるからです。
この問題では、を丁寧に調べる必要があります。


なので、は、の範囲にただ
1つの解をもちます。これをαとします。
の増減表は、

x0 α 
0
0
増減表より、において、なので、は単調減少です。より、です。では、なので、は単調増加です。より、は、の範囲にただ1つの解をもちます。これをβとします。
の増減表は、

x0 β 
00
00
増減表より、において、です。
よって、は、の範囲に、
02個の解をもちます。


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