不等速円運動
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半径
r
の円周上を運動する物体に働く力が、円の中心を向いていない場合は
等速円運動
をしません。このときの運動を、このサイトでは、不等速円運動と呼ぶことにします
(
正規の用語ではありません
)
。
このときは、物体の
速さ
v
も
角速度
ω
も一定値にはなりません。
円の中心を原点にとって、
x
軸方向からの回転角を
θ
とします。物体の
位置
は、
半径
r
を定数として、
,
物体の
速度
は、
,
よって、物体の
速度
は接線方向を向いています。
と書く
(
ω
は定数ではありません
)
と、
となります。
等速円運動の公式:
は、各瞬間において、不等速円運動であっても成立します。
物体の
加速度
は、
,
これより、
加速度
の動径方向
(
法線方向
)
成分は
,接線方向成分は
です。
不等速円運動の
運動方程式
では、接線方向も考える必要があります。法線方向に働く
力
(
向心方向を正とします
)
を
,接線方向に働く
力
を
といて、運動方程式は、
法線方向について、
(
)
接線方向について、
法線方向の運動方程式は、等速円運動の場合と同じです。接線方向の運動方程式は一般的には解けないので、これに代わるものを考えます。
入試問題では、摩擦などを無視して
力学的エネルギー保存則
が成立する状況で問題を考える場合がほとんどです。このときには、
不等速円運動の問題は、法線方向の運動方程式
(
等速円運動と同じ
)
と力学的エネルギー保存則を連立
することによって、解きます。大学入試では頻出なので覚えておいてください。
摩擦を考える場合でも、
摩擦力
のする
仕事
を考えて
エネルギー
の式を立てれば、解決できるようになっているはずです。
[
例
1]
長さ
r
の軽く堅い棒の一端に
質量
m
のおもりをつけ他端を中心に、鉛直面内で回転させます。最高点を通過するための、最下点における
速さ
に関する条件を求めます。
重力加速度
は
とします。
最高点での
速さ
を
v
として、最下点と最高点での力学的エネルギー保存より、
最高点を通過する条件は、
∴
[
例
2]
長さ
r
の軽い糸の一端に
質量
m
のおもりをつけ他端を中心に、鉛直面内で回転させます。糸がたるむことなく最高点を通過するための、最下点における
速さ
に関する条件を求めます。
重力加速度
は
とします。
糸の場合には、たるんでしまうことがあるので、
[
例
1]
の力学的エネルギー保存に付け加えて、糸の
張力
T
も考える必要があります。
力学的エネルギー保存は例
1
と同じく、
・・・@
最高点における糸の
張力
を
T
として、最高点での運動方程式は、
・・・A
@より、
Aに代入すると、
最高点でも糸がたるまない条件
は、
(
覚えておくこと
)
∴
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