レンズ
関連問題
ガラスでできている球を平面で切るときの小さい側、あるいは、小さい側を
2
個切り口を背にして貼り合わせたものを
凸レンズ
と言う。
ガラス板の
1
つの面を球面で切り取った残りの側、あるいは、両面を球面で切り取った残りの側を
凹レンズ
と言う。
凸レンズ、凹レンズに対し、
2
つの球の中心を結ぶ直線、もしくは、凸レンズ、凹レンズの片面をなす平面に垂直で球の中心を通る直線を
光軸
と言う。
光軸と平行に進んできた光線は、凸レンズの球面状表面で屈折して
1
点に集まるように進む。この点を凸レンズの
焦点
と言う。光軸と平行に進んできた光線は、凹レンズの球面状表面では、あたかもある
1
点から出てきて直進するかのように屈折して進む。この点を凹レンズの
焦点
と言う。
焦点は、レンズの物体側にも、物体と反対側にも存在する。
レンズの中心と焦点との距離を
焦点距離
と言う。
物体から出てレンズの中心を通過した光線はそのまま直進する。
物体から出て、凸レンズの物体側焦点を通過した光線は、凸レンズの球面状表面で屈折した後、光軸と平行に進む。
物体
AB
が凸レンズの焦点よりも遠くに置かれた場合、物体の各点から出ていろいろな方向に進んだ光線は、凸レンズを通過した後に、右図のように、線分
上に集まり、ここに像を作る。スクリーンを置くと、元の物体と同じ形が映って見えるので
実像
と言う。凸レンズの実像は、元の物体が
倒立して見える
。
物体
AB
が凸レンズの焦点よりも近くに置かれた場合、凸レンズを通過した光線は実像を作らず、右図のように、凸レンズの物体側に
虚像
を作る。虚像
は、そこにスクリーンを置いても、元の物体と同じ形は見えない。また、元の物体と同じ向きとなり
正立して見える
。レンズを通過後の光は、あたかも虚像位置に物体があって、そこから光が直進しているかのように進む。
物体
AB
が凹レンズの前に置かれた場合、右図のように、凹レンズの物体側に虚像
ができる。虚像は
正立して見える
。
凸レンズで倒立の実像ができる場合、物体とレンズとの距離を
a
,レンズと像との距離を
b
,焦点距離を
f
とすると、
・・・
(
*
)
が成立する
(
この公式を、このウェブサイトでは「レンズの公式」と呼ぶことにします
)
。
凸レンズで倒立の実像ができる場合では、
,
であるが、凸レンズで正立の虚像ができる場合は、虚像は物体側にできるので、
として考えれば
(
*
)
が成立する。
また、凹レンズで虚像が物体側にできる場合も、
,
として考えれば
(
*
)
が成立する。
像の大きさと元の物体の大きさの比を
倍率
と言うが、倍率
m
は、いずれの場合も、
で与えられる。
公式
(
*
)
を凸レンズ、凹レンズの場合に分けて導いてみます。以下、レンズになっているガラスの屈折率を
n
,外側の空気の屈折率を
1
とし、レンズは充分に薄く、ラジアン単位で測った各角
θ
は充分に小さく、
・・・@ が成り立つとします。
(1)
凸レンズ
光軸上に置かれた点光源
A
から出た光が、凸レンズの左側の面上の点
P
で屈折する状況を右図に示します。
P
から光軸に垂線
PH
を下ろし、
,
,光軸と
AP
のなす角を
α
,凸レンズの球面の中心を
O
として半径
OP
と光軸のなす角を
,光軸と屈折光のなす角を
φ
,
とします。
点
P
で屈折するときの入射角は
,屈折角は
なので、
屈折の法則
より、
@より、
・・・A
また、右図より、
,
@より、
,
これをAへ代入し、
・・・B
Bによって屈折した光が、凸レンズの右側の面上の点
Q
で屈折して光軸上の点
B
に到達する状況を右図に示します。
Q
から光軸に垂線
QJ
を下ろし、
,
,光軸と
BQ
のなす角を
β
,半径
OQ
と光軸のなす角を
,
とします
(
左側の球面と右側の球面の半径が同一とは限りません
)
。
点
Q
で屈折するときの入射角は
,屈折角は
なので、屈折の法則より、
@より、
・・・C
また、右図より、
,
@より、
,
これをCに代入し、
・・・D
ここで、
,
,
,
φ
の関係を右図に示します。
以下では、レンズが充分に薄く
とし、
として考えることにします。
DをBに代入すると、
で割って整理すると、
・・・E
右辺を
とおけば、レンズの公式
(
*
)
が得られます。
(2)
凹レンズ
光軸上に置かれた点光源
A
から出た光が、凹レンズの左側の面上の点
P
で屈折する状況を右図に示します。
P
から光軸に垂線
PH
を下ろし、
,
,光軸と
AP
のなす角を
α
,凹レンズの球面の中心を
O
として半径
OP
と光軸のなす角を
,光軸と屈折光のなす角を
φ
,
とします。
点
P
で屈折するときの入射角は
,屈折角は
なので、
屈折の法則
より、
@より、
・・・F
また、右図より、
,
@より、
,
これをAへ代入し、
・・・G
Cによって屈折した光が、凹レンズの右側の面上の点
Q
で屈折し、あたかも光軸上の点
B
から出て直進するかのように進む状況を右図に示します。
Q
から光軸に垂線
QJ
を下ろし、
,
,光軸と
BQ
のなす角を
β
,半径
OQ
と光軸のなす角を
,
とします。この状況は、凸レンズのときの右側レンズ面における屈折と同一で、ここでもDが得られます。
をGに代入すると、
で割って整理すると、
これは、E式の
b
と
の符号を変えたものに相当します。
以上より、凸レンズで
となる位置に物体を置き実像が物体と反対側にできる場合
(
,
)
と、凹レンズの場合
(
,
)
について、レンズの公式
(
*
)
が成り立ちます。
なお、入試では、特別な場合を除いて、レンズの左面での屈折、右面での屈折を分けて考えずに、レンズの中心面上で屈折するように作図すれば
OK
です。
教科書流にレンズの公式
(
*
)
を導いてみます。
(1)
凸レンズ
右図で、
A
から出て光軸に平行に進んだ光線は、凸レンズの点
C
で屈折して焦点
に向かって進みます。
A
から出て凸レンズの中心
O
を通過した光線はそのまま直進し、
C
で屈折して進んできた光線と
で交わり、物体
AB
の実像
を作ります。
三角形
ABO
と三角形
は相似なので、
∴
・・・H
三角形
と三角形
は相似なので、
∴
・・・I
H,I,
より、
b
で割って整理すると、
なお、@式が凸レンズの倍率
を与えます。
(2)
凹レンズ
右図で、
A
から出て光軸に平行に進んだ光線は、凹レンズの点
C
で屈折して焦点
から出て直進するかのように進みます。
A
から出て凹レンズの中心
O
を通過した光線はそのまま直進します。
と
AO
の交点
の位置に物体
AB
の虚像
ができます。
三角形
と三角形
は相似なので、
∴
・・・J
三角形
と三角形
は相似なので、
∴
・・・K
J,K,
より、
で割って整理すると、
これは、公式
(
*
)
において、
,
とした式です。なお、J式が凹レンズの倍率
を与えます。
物理基礎事項
TOP
物理
TOP
TOP
ページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©
2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾
随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾
苦学楽学塾
(ご案内は
こちら
)ご入会は、
まず、
こちらまでメール
をお送りください。
雑誌「
大学への数学
」出版元