とする)を求めよ。
図1のように、トラックが荷台に荷物を置いた状態で水平面の直線道路上を走る。その速さは図2に示すように、時刻0から時刻Tまで一定の割合で増加し、速さvに達する。荷物の大きさは縦、横、高さがそれぞれa，b，hの直方体であり、その質量をmとし、重心位置は荷物の中心にあるものとする。また、トラックの荷台は常に路面と平行であり、荷台と荷物間の静止摩擦係数を
，動摩擦係数をmとし、重力加速度の大きさはgとする。
としたとき
ウ である。
ク の条件が得られる。
としたとき、
ケ である。
と
の表式により、
コ であることがわかる。
このトラックが図3のように、半径Rの円周上を一定の速さVで走行している場合を考えよう。路面は内側に角度qで傾斜している。なお、Rに比べてトラックおよび荷物は十分小さいと仮定し、荷台面内での荷物の回転も起こらないものとする。とする)を求めよ。
で走行している場合を考える。その速さがある値を越えると荷物はすべり始める。そのときのトラックの速さは
サ である。また、転倒の初期段階として荷物の回転を考えた場合、トラックの速さがある値を越えると、荷物はQを通り紙面に垂直な軸を中心として回転を始める。そのときのトラックの速さは
シ である。したがって、荷物がすべり始めるときのトラックの速さと回転を始めるときのトラックの速さが一致する条件(荷物が回転を始めないための
がとり得る限界値)は
ス となる。
(1) 図1に示すものは、その一つでサイクロトロンと呼ばれる装置の概略図(a)と原理図(b)である。以下、原理図(b)にもとづき考察する。真空中に、半径
の半円形で薄い中空の2つの加速電極を、直線部で距離
だけ離して対向させて置く。ただし、dは
に比べて十分小さいとする。この両電極間のすき間をギャップと呼ぶことにする。この電極面に垂直に紙面奥から手前に磁束密度
の一様磁場を与える。簡単のために、重力は無視でき、ギャップ部の磁場はないと仮定する。
)が正極、右側半円電極(
)が負極となるよう直流電圧
がかけられているとき、
の半円の中心部に置いたイオン源Sから電荷
(
)，質量
の荷電粒子が初速ゼロで供給された。直流電圧Vによる電極間の電場は一様かつ均一であると仮定する。荷電粒子は電極
に向かって距離dにわたって加速され、速さ イ 
で
の空洞内に入り、磁場によってローレンツ力を受ける。これと遠心力がつりあって、荷電粒子は等速で半径 ロ 
の円軌道を半周描いた後、電極の直線部に到達し
を出る。荷電粒子が電極空洞内にいる時間は、 ハ 
である。
が負極、
が正極となるように直流電圧Vをかけると、再び荷電粒子はギャップを通過するときに加速され、
の空洞内に入り等速円運動を始める。円運動の周期は、荷電粒子と一様印加磁場が決まれば変化しないので、継続して荷電粒子を加速するためには電極間の直流電圧の向きを変える時間間隔
は一定でよい。ただし、両電極間を通過する時間は ハ に比べて十分短いとする。
(
)になったとき、荷電粒子の速さは ニ 
となり、このとき荷電粒子が持つエネルギーは、 ホ 
である。また、これまでに電極間で加速された回数nは ヘ である。
回目(
)の加速後の軌道半径をRに維持するためには、一様磁場の磁束密度
と電極間の直流電圧の向きを変える時間間隔
をそれぞれどのような値にすればよいか。n回目までの磁束密度
と時間間隔
を用いて求めよ。ただし、直流電圧の大きさVは一定とする。
(2) 円運動する荷電粒子を、軌道半径を変えないで加速する方法として、与える磁場の変化による誘導電場を用いるベータトロンと呼ばれる装置がある。この原理について考えてみよう。
の円柱形の鉄心を持つ電磁石の磁極のすき間に一様磁場を上向きに与えた場合を考える。重力の影響は無視できるとする。初期の磁場の磁束密度は
で、その中を図2のように(1)と同じ荷電粒子が半径
で等速円運動しているとき、荷電粒子の軌道断面を単位時間当たりに通過する電荷量、すなわち電流は、 ト 
と書ける。
の間に
だけ均一に増加させると、円環に誘起される起電力は円環を貫く磁束の単位時間当たりの変化で与えられ、その大きさは チ 
である。そのとき、円環上の電場の大きさは リ 
となり、これによって円環には電流が誘導される。
での速さを考慮すると
後の速さは、 ヌ 
となる。荷電粒子に働く中心方向の合力は ル 
となり、このように磁極間に一様で、均一な磁場変化を与えて荷電粒子を加速した場合には、軌道半径が{ヲ：① 大きくなる ② 変わらない ③ 小さくなる}ことがわかる。
の間に、軌道上の磁束密度を
，軌道で囲まれる面を貫く全磁束を
だけそれぞれ増加させたところ、軌道半径は変わらずに荷電粒子の速さの変化が
となった。このとき、 ル を導いた場合と同様に、軌道上の荷電粒子の運動量の変化と中心方向の力のつりあいを考えて
と
の関係式を求めよ。
問3 上の問2の結果をもとに、実際のベータトロンの磁極の断面形状として図3の(a)，(b)のどちらが適当であるか選べ。図中の磁極間の矢印は磁力線の概略である。磁力線の密度は磁束密度の大きさに対応している。
(1) ホイヘンスの原理を用いると波の多くの現象が理解できる。図1に示すように、媒質Ⅰ (
)を速さ
で進んだ波は、媒質2 (
)を速さ
で進み屈折を起こす。角度
で入射した線分ABを含む波面上の点Aは時刻
に境界に到達した。その後時刻
に、点Bは境界上の点Sに達し、点Aは点Cに到達する。この間(
)の時刻t に境界に達する点Pと点Sの間の距離は、時刻t を用いると
あ である。また時刻t に境界上の点Pから放射され、時刻
に点Qで波面CSに接する素元波の半径は、時刻t を用いると
い である。以上から、媒質2の屈折角
は、
，
を用いると
う となる。
(2) 浅い海の上を進む船は、くさび型の波面を伴う場合がある。(1)の結果を利用して、このくさび型の波面ができる条件を考えよう。船は大きさを持たず、図2に示すように、静止した水の上を一定の速さVでX軸上を進んで波を発生させたとする。時刻t での船の位置を点Pとする。また、波の速さはcとする。船は、各時刻に変位が同じ(位相が同じ)である波長lの素元波を放射しながら進むとする。すなわち、図2の点Pから放射される素元波を、図1の点Pから放射される素元波と同様に扱うこととする。時刻
に船が原点Sに到達した。このとき、図2のように、船は後方に原点を通るくさび型の波面を伴っていた。
を求めよ。くさび型の波面ができるときに、船の速さVと波の速さcが満たす条件式を導け。
深い海の上を進む船の後ろにできる美しい波模様は、参考図のようにくさび型領域に限られる。このくさび型の領域は、問1の結果とは違って、船の速さによらない一定の角度を持つ。この違いは、波長より水深が深い場合には波長が短いほど水の波の速さが遅いという性質があることと、船が作る波は波長が異なる多くの波が重ね合わさっていることが原因である。この違いについて考えよう。
と書ける。ここで、aは平面波の振幅である。ただし、時刻
，位置
での波の変位を0とおいた。この式に現れる
は「波数」と呼ばれており、これをkとおく。また、角振動数
を用いると、次のように表現が簡単になる。
(i)
の値をその位置xと時刻t での波の位相と呼ぶ。位相が一定の値(
)である位置xは、
の関係を満たしながら、x軸の正の方向に一定の速度cで進む。この速度は平面波の「位相速度」と呼ばれている。波数kと角振動数wを用いて表すと
え となる。
問2 図3には、式(i)で表される波の時刻
での変位hが描かれている。図3を参考にして、時刻
におけるこの波の変位hの概略図を、
の範囲で解答用紙の所定欄に書き入れよ。ただし、縦軸と横軸の数値と記号は図3と同じように記入せよ。
，
，角振動数を
，
とする。また、波1と波2の振幅は等しく、aとする。ただし、
，
は、それぞれ波数k，角振動数wに比べその大きさが十分小さい定数であり、
とする。このとき、波1の変位を
，波の変位を
と表すと、重ね合わせた波の変位
は、公式
を用いて、以下のように書ける。
お 
と、その振幅の変動を表す部分
お )の積になっている。この振幅の変動に着目して式(i)と比べると、この振幅の変動が速度
で伝わることがわかる。この振幅の変動が伝わる速度を「群速度」と呼び
とおく。
図4には、重ね合わせた波の変位の時間変化の一例を描いた。ここで、振幅の変動を破線で表し、その腹と節の伝搬を矢印で、また
，
における平面波の部分の位相と同じ位相を持つ点の位置を黒丸で、それぞれ示した。図4は、平面波の部分は位相速度cで伝わり、その振幅の規則的な強弱は群速度
で伝わることを表している。
の関係は{か：① 
② 
③ 
}である。このとき、
の点で観測される波の変位hの時間変化を、図5に示す。音のうなりと同じように変位hの振動の強弱が規則的に観測される。単位時間当たりのうなりの数は角振動数を用いると き である。
の関係が成り立つ。ここで、gは重力加速度の大きさである。このとき、群速度
と位相速度cをそれぞれ計算し、比
を求めよ。
に対する次の近似式を用いよ。
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