(1) 図1のように、小球を静かにつるしたとき、小球は
－ ア において静止した。この位置を点Bとする。
の点をAとする。(1) 図1のように、小球を静かにつるしたとき、小球は－ ア において静止した。この位置を点Bとする。
(ただし、
)に達したときの速度の大きさは エ で与えられる。また、小球が達する最下点は、点Bより距離 オ だけ下の位置である。
を調べてみよう。小球が初めて点Aに達してから初めて点Bに達するまでの間における速度の大きさの最小値は カ である。一方、小球が初めて点Bに達してから次に点Bにもどってくるまでの所要時間は キ である。したがって、所要時間
は、| 2× | オ | ＋ キ | ||
| カ | ||||
(ただし、
)の点Cから、時刻
に、x軸の正の向きに初速度
(ただし、
)で投げた。ひもは、小球がある点Dに達したとき、初めて伸びきった。その後、小球はCD間の経路を逆にたどって点Cを通過し、点Eで再びひもが伸びきった後、CEの経路を逆にたどって点Cにもどり、以後これを繰り返して周期運動を続けた。この周期運動が実現するために必要な、
と
の間の関係を調べてみよう。まず、点Dに達する直前の小球の速度のx，y成分
と、点Dのx，y座標
の間には、
＝ ク の関係が成り立っていなければならない。また、小球が初めて点Dに達した時刻を
として、
，
を
，
，T，および重力加速度gを用いて表せば、
＝ ケ ，
＝ コ である。
，
も同様にして表すことにより、Tと
の間の関係、
＝ サ が得られる。したがって、
でなければならない。さらに、条件
を用いれば、
は初速度
の関数として決まり、
＝ シ となる。
図1のように、一端が壁Aで閉じられた、断面積Sのシリンダーがあり、摩擦なしで動くことができるピストンB，Cによって3つの空間領域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲに分けられている。領域Ⅰには電気抵抗rのニクロム線でできたヒーターがあり、内部抵抗を無視できる起電力Vの電池とスイッチKでできた外部の回路に導線でつながれている。ピストンBにはごく細い通気口が開けられているが、最初は弁Dによって閉じられている。ピストンB，Cは、フックの法則に従う自然の長さがLのばねで結ばれている。シリンダー内には、壁Aから距離
の位置にストッパー
が、さらに
からばねの自然長LとピストンB，Cの厚さをあわせた距離の位置にストッパー
が設けられ、ピストンを停止できるようになっている。ただし、Lは
より大きい。また、シリンダーとピストンはともに断熱材でできており、ストッパー、ばね、弁、通気口、ヒーターおよび導線の体積は、いずれも無視できるものとする。なお、大気圧を
とする。
，
であった。また、領域Ⅲは常に大気圧
の外気と通じている。図1に示したように、この状態でピストンBはストッパー
に接触して停止し、ピストンCはストッパー
から距離aの位置で停止していた。このことから、ばね定数は イ であることが分かる。その後、以下のように過程(1)から(4)の順にシリンダーの状態を変化させた。
を離れ始めた。このときの領域Ⅰの気体の温度は ロ であった。電池により供給されたエネルギーがすべて気体に吸収されたとすれば、この時刻はスイッチKを閉じてから時間 ハ の後である。
に接触し停止した。この過程で領域Ⅰの気体が吸収した熱量は ホ である。
に達した時点でスイッチKを開いた。このとき領域Ⅰの気体の温度は ヘ であり、過程(3)で領域Ⅰの気体が吸収した熱量は ト である。
問1 (1)から(3)までの過程における領域Ⅰの気体の状態変化の様子を、図2のように体積を横軸に、圧力を縦軸にとり、解答欄にグラフで示せ。グラフ用紙の横軸と縦軸の目盛りの数値は、それぞれ量
と
を1として表している。例えば図中の×印の点は、体積が
，圧力が
の状態に対応する。グラフは概略を示すものでよいが、図中の記入例にならって、各過程の始点と終点に黒丸・を、さらに適当な位置に(1)，(2)，(3)の番号を付け、グラフのそれぞれの部分がどの過程を表すかが分かるようにすること。
に接触したままであった。スイッチKは開いていたから、この過程は断熱変化である。ばねが自然長に戻ったとき、シリンダー内の気体の温度は チ であった。また、このときにもピストンCがストッパー
に接触したものであったことから、ばねの自然長Lと長さaの間には、
≧ リ の関係が成り立っていたことが分かる。
図1に示されたような、長さL，質量mの細い導体棒が、半径aの2枚の導体円板P，Qの縁で円板に対して垂直に固定され、水平に設置された装置がある。2枚の導体円板は、円板の中心を通る導体でできた水平な軸のまわりを摩擦なしで、2枚そろって自由に回転できる。この装置に対して、鉛直下向き方向、あるいは導体棒に対して垂直な水平方向に一様な磁界を加えることができる。ここでは、導体円板の質量、導体棒の太さ、導体棒と軸および円板の電気抵抗、2枚の導体円板の間の空間に生じる電界の影響および導体を流れる電流が作る磁界の影響は、いずれも無視できるものとする。また、重力加速度をgとし、空気による抵抗はないとする。
だけ回転させ静かに手を離すと、導体棒は角振動数 あ で単振動し、このとき2枚の導体円板の間に生じる誘導起電力の最大値は い であった。
(2) 図2のように、鉛直下向き方向に磁束密度Bの一様な磁界を加え、2枚の導体円板の間に電気抵抗Rの抵抗と起電力Vの電池を直列に接続した。このとき、導体円板に手を添えてゆっくりと回転させ、ある角度で静かに手を離すと、導体棒は静止した。この静止位置は、鉛直下向き方向に対して、
＝ う を満たす角度q の位置である。この静止位置から、さらに導体円板を微小な角度だけ回転させ静かに手を離すと、導体棒は角度q の位置を中心にして、しばらくの間振動した。振動の減衰が無視できる場合には、この振動は角振動数 え の単振動で表される。
だけ回転した状態で静かに手を離すと、導体棒は振動を始めた。ここでは角度
は必ずしも微小ではない。また、図の
の向きを角度q の正の向きとし、
とする。さらに、導体円板P，Qの間に生じる起電力は、PからQに向かう向きを正とする。導体棒が、鉛直下方から角度qだけ回転した位置において、角度q の正の向きに運動しているとき、導体棒の速さは お であり、導体円板の間に生じる起電力は、 か で与えられる。
導体棒の振動によって生じる起電力の時間的変化の概略を、静かに手を離してから後の導体棒の振動の1周期にわたってグラフで表すと、図4の き のようになる。ただし、図4のそれぞれのグラフの縦軸は起電力を、横軸は時間を表している。
ここで、回路を流れる電流が周期的となり、
で表されるようになったとして、このIを用いると、抵抗の両端にかかっている電圧は け ，コンデンサーの両端にかかっている電圧は こ と表される。したがって、抵抗とコンデンサーの直列回路の両端にかかっている電圧の最大値は さ ×Iとなる。| (Ｃ)2005,2006,2007,2008,2009 (有)りるらる | CFV21 随時入会受付中！ CFV21ご入会は、まず、 こちらまでメールをお送りください。 |
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