東大理系数学'03年前期[5]

さいころをn回振り、第1回目から第n回目までに出たさいころの目の数n個の積をとする。
(1) 5で割り切れる確率を求めよ。
(2) 4で割り切れる確率を求めよ。
(3)20で割り切れる確率をとおく。を求めよ。
注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。

解答 確率の基本的な問題ですが、場合分けのミスなどに注意が必要です。最後の極限のところでは、のとき、であることを使います。

(1) 5で割り切れる
1回目から第n回目までに少なくとも15が出る

「少なくとも」という表現が出てくるので
余事象の方を考えます。
「第
1回目から第n回目までに少なくとも15が出る」という事象の余事象は、「第1回目から第n回目までに1度も5が出ない」という事象です。
さいころを
1回振って5が出ない確率はです。
これが
n回続くので、第1回目から第n回目までに1度も5が出ない確率は、

5で割り切れる確率は、 ......[]

(2) これも(1)と同様に余事象を考えます。

4で割り切れない
(i) 1回目から第n回目まで、全て、135が出る、または、(ii) 1回目から第n回目までの中で1回だけ26が出て、残りの回は135が出る

(i)を考えます。
さいころを
1回振って135が出る確率はです。
これが
n回続く確率は、

(ii)を考えます。
26が出るのは、第1回目から第n回目までのどの回かが、通り。
さいころを
1回振って26が出る確率は
残りの回、全て、
135が出る確率は
(ii)の確率は、

(i)(ii)は排反(和事象・積事象・余事象を参照)なので、求める確率、即ち、「(i)または(ii)」の余事象の確率は、
......[]

(3) これも余事象、「20で割り切れない」という事象の方を考えます。余事象の確率はです。

20で割り切れない」という事象は、
4で割り切れない」か「5で割り切れない」事象です。

4で割り切れない」事象Aと「5で割り切れない」事象Bは、排反ではありません。
ともに、「
4でも5でも割り切れない」という事象()を共通に含んでいます。

4でも5でも割り切れない
(i) 1回目から第n回目まで、全て、13が出る、または、(ii) 1回目から第n回目までの中で1回だけ26が出て、残りの回は13が出る

(i)の確率は、

(ii)の確率は、

(i)(ii)は排反なので、4でも5でも割り切れない確率は、

(2)より、4で割り切れない確率は、
(1)より、5で割り切れない確率は、

20で割り切れない(AまたはB)確率は、

極限をとるので、この中に出てくる、の中で絶対値が最も大きいものでくくります。


ここで、とすると、より、

......[]


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