東工大数学'04年前期[3]

3枚のコインPQRがある。PQRの表の出る確率をそれぞれpqrとする。このとき次の操作をn回繰り返す。まず、Pを投げて表が出ればQを、裏が出ればRを選ぶ。次にその選んだコインを投げて、表が出れば赤玉を、裏が出れば白玉をつぼの中に入れる。
(1) n回ともコインQを選び、つぼの中にはk個の赤玉が入っている確率を求めよ。
(2) つぼの中が赤玉だけとなる確率を求めよ。
(3) のとき、つぼの中に何個の赤玉が入っていることがもっとも起こりやすいかを求めよ。

解答 (3)は、期待値を聞いているわけではないことに注意しましょう。1回の試行で赤玉が入る確率を使って計算をせずに、xなどと置いて計算をするのがコツです。

(1) コインQを選んで赤玉が入るということは、Qを投げて表が出たということです。
コインQを選ぶ確率がpn回ともコインQを選ぶ確率は
Qを投げて表の出る確率がqで、これがn回の試行中k回起こる確率は、反復試行の公式より、
よって、
n回ともコインQを選び、つぼの中にk個の赤玉が入っている確率は、 ......[] (独立試行の確率を参照)

(2) 1回の試行において赤玉が入るのは、
Qを選び、Qを投げて表が出る(確率)か、
Rを選び、Rを投げて表が出る(確率)ときです。
よって、
1回の試行で赤玉が入る確率は、
つぼの中が赤玉だけになるのは、
n回の試行のすべてにおいて赤玉ばかりを選んだときだから、つぼの中が赤玉だけとなる確率は、 ......[]

(3) 1回の試行で赤玉が入る確率をxとして、(2)より、
n回試行後に、つぼの中にk個の赤玉が入っている確率は、反復試行の公式より、
何個の赤玉が入っていることがもっとも起こりやすいかを考えるためには、を最大とするkを求めればよいのです。の形から、の比をとってみるのが定石です。
のとき、
整理して、
のとき、
同様にして、のとき、
よって、においては、
においては、

これよりを最大とする赤玉の個数kは、 ......[]

赤玉の個数の期待値は、ですが、これをもってして、701個赤玉が入る確率が最大だ、とは断定できません。
確率
0点、確率1点、確率2点、確率4点となるゲームを行う場合、得点の期待値は、点ですが、1点になる確率が最大ではなく、0点の確率が最大です。


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