区分求積法    関連問題



区間:において連続な関数:のグラフとx軸,直線:とで囲む面積Sを求めてみます。
の原始関数をとし
(つまり、)、区間:n分割し、1個分の幅をとおきます。
また、
(aからk個分進んだ位置)とおくと、幅:,高さ:の長方形の面積は、で与えられます(右図参照)

ここで、和を考えると、より、

 
 
 
また、
平均値の定理より、 ()をみたす実数cが存在します。
のとき、だから、

 
 

は、右上図の長方形の面積を多数集めたものと考えられますが、
nを限りなく大きくし、刻みを限りなく小さくしてゆくと、長方形の面積を加え合わせたものは、面積Sに近づくと考えられます。よって、
 ・・・
()
この式は、定積分により、曲線とx軸にはさまれた部分の面積が計算できることを意味しています(定積分と面積を参照)

以上に基づき、和の形に表された極限を定積分に直すことにより求めることができる場合があります。
例えば、の場合、
()において、と考えれば、
 ・・・
(**)
と直すことができます。
和の形を、定積分に変換するところがややこしいのですが、記号の前にが出てくるように、また、記号の内側が、に関する式になるように、変形します。

積分に直すときは、の極限で、と変換し、積分の上端、下端については、より、が変換された
xについて、xと考えます。
注.個人的には、高校数学で、定積分
abを上端(upper edge)、下端(lower edge)というのは問題だと思っています。正確には、「端」ではなく区分求積法の「極限」なので、上限(upper limit)、下限(lower limit)と言うべきだと思います。入試問題との間にズレがあって、受験生の混乱を招いているように感じます。

積分の上端、下端については、いつも
xになるとは限りません。
の形の場合には、だから、より、
xとすればよく、になります。
このときは、
()において、 (区間:等分したということ)とした、ということになります。これ以外の考え方も可能ですが避けた方が無難でしょう。

1. を求める。
[解答] 
記号の前に、が出てくるように、記号の内側の分母について、nでくくり、とすれば、

となり、上記の
(**)の形を作ることができます。です。
の極限で、と変換します。
和がから始まるので、から始まります。よって、積分の下端は、より、
0とします。
和はで終わるので、まで行きます。よって、積分の上端は、より、
1とします。
以上より、

 
......[]

2. を求める。
[解答] 区分求積法にもちこむためには、積を和の形に直す必要があります。
そのために、
対数をとってから極限を考えることにします。
対数関数は、区間において
連続な関数なので、です。





よって、

となり、上記
(**)の形を作ることができます。です。

対数関数の積分では、とみて、
1を積分、対数関数を微分に回して部分積分するのが定石です。

 
 
定積分は、とおく
(置換積分を参照)と、より、両辺をxで微分して、

x
のとき、t
よって、

 
 
 
 
......[]


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