慶應大学理工学部
2011
年数学入試問題
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[A1]
(1)
とする。定積分
の値は
である。
(2)
k
を実数とする。座標平面上で、点
を直線
に関して対称移動した点を
とすると
が成り立つ。
(3)
負でない実数
,
,
で
を満たすものが与えられているとき、数列
,
,
を次のように定める。
,
,
に対して
,
,
を大きさの順に並べ、大きい順に
,
,
とする。たとえば
,
,
とするとき、
,
,
であり、
,
,
である。
次に、
で
,
,
はどれも
0
ではなく
が満たされているとする。このとき
である。
[
解答へ
]
[A2]
k
を実数として、
x
の
4
次関数
を
と定める。
(1)
方程式
は、
k
の値によらず
を実数解としてもつ。また、この方程式の実数解が
のみとなるのは、
のときである。
(2)
のとき、
は
で最小値
をとる。
(3)
方程式
が相異なる
4
つの実数解をもつような
k
の値の範囲は、
である。
k
がこの範囲にあるとき、
の
4
つの解を
a
,
b
,
c
,
d
(
)
とする。
と
をそれぞれ
k
を用いて表すと、
,
となる。また、
のとき、
である。
[
解答へ
]
[A3]
実数
θ
は
の範囲を動くとする。空間内の動点
P
と点
Q
を通る直線が、
xy
平面と交わる点を
R
とする。
x
,
y
を
θ
の関数として表すと、
,
となる。これより、
と
を
x
,
y
を用いて表すと、
,
となる。したがって、
θ
が上の範囲を動くとき、点
R
の
xy
平面上の軌跡の方程式を
とすれば、
となる。
次に、
xy
平面内の領域
D
を
と定め、領域
D
の面積を求めることを考える。直線
を原点
O
を中心として、
回転した直線の方程式は
となる。また、曲線
を原点を中心として、
回転した曲線の方程式を
(
)
とすれば、
となる。領域
D
を原点を中心として、
回転した領域を
とすれば、領域
D
と領域
は合同だから、
である。
[
解答へ
]
[A4]
1辺の長さが
1
の正五角形の
5
つの頂点に反時計回りに
A
,
B
,
C
,
D
,
E
と名前をつける。いま、初めに頂点
A
に白玉を
1
個、頂点
C
に赤玉を
1
個置き次の操作を繰り返し行う。
[
操作
]
コイン
1
枚とさいころ
1
個を同時に投げる。コインの表が出たら白玉を、裏が出たら赤玉を選んでさいころの出た目の数の長さだけ正五角形の辺上を反時計回りに動かす。また、玉が到達した頂点に別の色の玉がある場合は、玉を動かす前にあった
2
つの玉の位置を入れ替えるものとする。
例えば
1
回目にコインの表とさいころの
6
の目が出たとすると白玉が
A
→
B
→
C
→
D
→
E
→
A
→
B
と動き、白玉の位置が頂点
B
となる。続いて
2
回目にコインの裏とさいころの
4
の目が出たとすると赤玉が
C
→
D
→
E
→
A
→
B
と動き、到達した頂点
B
に白玉があるので、赤玉を頂点
B
に置き、頂点
B
にあった白玉を頂点
C
に移す。
以下、
2
つの玉が正五角形の隣り合う
2
頂点にある状態を「状態
(S)
」と呼ぶことにする。
(1) 2
回目の操作を終えたとき頂点
D
と頂点
E
に玉がある確率は
である。
(2)
n
回目の操作を終えたとき状態
(S)
となる確率を
とする。
である。また
と
の間には
という関係式が成り立つ。これより
を
n
を用いて表すと
となる。
(3)
n
回目の操作を終えたとき初めて状態
(S)
となる確率を
とする。
を
n
を用いて表すと
である。
いま、状態
(S)
となるまで操作を繰り返し、状態
(S)
となった時点で操作を終了する。ただし、操作を
r
回行っても状態
(S)
とならない場合は
r
回で操作を終了することとする。このとき、操作を行う回数の期待値を
r
を用いて表すと
となる。
[
解答へ
]
[B1]
座標空間で次の
8
つの点
A
,
B
,
C
,
D
E
,
F
,
G
,
H
を頂点とする
1
辺の長さ
2
の立方体
ABCD-EFGH
を考える。いま、点
P
を正方形
EFGH
内の点
(
辺上も含む、ただし
)
とし、点
A
と点
G
を通る直線を
とする。
(1)
点
Q
を直線
上の点で
(
t
は実数
)
を満たすものとする。
と
が直交するとき
t
を
x
と
y
で表すと
となる。
(2)
点
P
から直線
に下ろした垂線の足は点
A
と点
G
の間にあることを証明せよ。
(3)
点
P
が原点
O
を中心とする
xy
平面上の半径
1
の円周上を動くとし、
P
の座標を
(
)
と書くことにする。このとき、三角形
APG
の面積の最大値と最小値、およびそれらを与える
θ
の値を求めよ。求める過程も書け。
[
解答へ
]
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