微分・導関数    関連問題

関数に対して、xからまで変化するときのの平均変化率:hを限りなく0に近づけたときの極限:が極限値をもつとき、その極限値をと書いて、関数における微分係数という。

右側微分係数:と左側微分係数:が食い違う関数も存在する。右側微分係数と左側微分係数が一致してある有限確定値になるときに、これを微分係数という。

[注意] このとき、微分係数のグラフのにおける接線の傾きを表します。右図で、点Pと点Aを結ぶ直線の傾きmは、です。として、点Pをどんどん点Aに近づけていくと、mは点Aにおける接線の傾きに近づいていきます。

関数に対して、
xにおける微分係数の値を関数値とする関数を考える。これを導関数といいと書く。微分係数のaxに書き換えて、が極限値をもつとき、その極限値を導関数とする。の接線の傾きを値とする関数が導関数である。
関数から導関数を求めることを「
微分する」という。

・微分係数が存在するとき、において
微分可能である、という。
 このとき、
である。

・区間:内のすべての
xについてが存在するとき、において微分可能である、という。
 このとき、
である。

 微分可能かどうかを考える区間は通常は両端を除いた区間
(開区間という)で考える。両端を入れた区間(閉区間という)では、端点で左側微分係数か右側微分係数のどちらかを考えることができなくなる。

関数があるとき、とするときの関数の値の変化を考える。
xの増分、yの増分という。が微分可能なとき、
と書くことができる。これを意識して、導関数とも書く。
である。また、の導関数を単にと書く。

1 (定数)の場合、より、です。
2の場合、より、です。
3の場合、より、です。
4の場合、より、です。

一般に、
(n1以上の整数)の場合、二項定理より、
ここで、とすると、のところだけが残って、
,つまり、
となります。


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