センター数学IIB '11年第3問 

数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pで表す。
数直線上に点をとる。線分
31に内分する点をとする。一般に、自然数nに対して、線分31に内分する点をとする。点の座標をとする。
であり、である。数列の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数
nに対してとする。
 ()
である。したがって、 ()であり、
 ()
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        
次に、自然数nに対してを求めよう。とおくと
 ()
であり、したがって
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        

解答 やや面倒な計算はありますが、標準的な内容なので、細心の注意を払って正解したい問題です。

を結ぶ線分を
31内分する点は、より、です。
() 7 () 4 ......[]


 ()
() 1 () − () 1 () 4 ......[]
は、初項1,公比等比数列です。
 ()
(
) ......[]
階差数列の公式より、のとき、

 (のときもとなり、正しい結果を与えます)
() 9 () 5 () 4 ()
とおくと、
      ・・・@
 ・・・A
@−Aより、
 ()
()  () ......[]

() 1 () 6 () 9 () 4 ()  () 3 () 4 () ......[]


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