センター数学IIB '11年第3問　

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数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pをで表す。
数直線上に点，をとる。線分を3：1に内分する点をとする。一般に、自然数nに対して、線分を3：1に内分する点をとする。点の座標をとする。
，であり、である。数列の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数nに対してとする。

，　()

である。したがって、　()であり、

　()

となる。ただし、，については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
　　 　　 　　
次に、自然数nに対してを求めよう。とおくと

　()

であり、したがって

となる。ただし、，，，については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
　　 　　 　　

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解答　やや面倒な計算はありますが、標準的な内容なので、細心の注意を払って正解したい問題です。

，を結ぶ線分を3：1に内分する点は、より、です。
(ア) 7　(イ) 4 ......[答]

　()

(ウ) 1　(エ) −　(オ) 1　(カ) 4 ......[答]
は、初項1，公比の等比数列です。
∴ 　()
(キ) ......[答]
階差数列の公式より、のとき、

　(のときもとなり、正しい結果を与えます)

(ク) 9　(ケ) 5　(コ) 4　(サ)
とおくと、

　　　　　　･･･�@
　･･･�A

�@−�Aより、

　()

(シ) 　(ス) ......[答]

(セ) 1　(ソ) 6　(タ) 9　(チ) 4　(ツ) 　(テ) 3　(ト) 4　(ナ) ......[答]

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