センター数学IIB '11年第2問 

座標平面上で、放物線Cとする。
曲線
C上の点Px座標をaとする。点PにおけるCの接線の方程式は
である。のとき直線x軸と交わる点をQとすると、Qの座標は
である。
のとき、曲線
Cと直線およびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると
である。
のとき、曲線
Cと直線および直線で囲まれた図形の面積をTとすると
である。
のときはのときはであるとして、に対してとおく。
aがこの範囲を動くとき、Uで最大値をとり、で最小値をとる。

解答 センター試験の微積の問題としては、この程度が適切だと思います。以前の複雑で面倒な計算をさせる問題では何を試験したいのかわからなくなります。今後も、今年の方針を継続することを期待します。

C
Pにおける接線は、
() 2 () a () 2 ......[]
直線x軸と交わる点Qは、として、
 ∴
より、Q
(
) a () 2 () 0 ......[]
のとき、曲線Cと直線およびx軸で囲まれた図形は、右図黄緑色着色部です。この面積Sは、
 (定積分と面積を参照)
() 3 () 1 () 2 ......[]
のとき、曲線Cと直線および直線で囲まれた図形は、右図水色着色部です。この面積Tは、

() 3 () 2 () 4 () 8 () 3 ......[]
問題文に、「のときはのときは」という記述が見えます。ここで、STの結果を確認してから先に進むようにしましょう。
に対してとおくと、


のときのとき
のとき

a0

2

0
U

増減表より、Uは、で最大値をとり、で最小値をとります(3次関数の最大・最小を参照)
() 0 () 8 () 3 () 4 () 3 () 8 () 2 () 7 ......[]


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