センター数学IIB '11年第1問 

[1] のとき、関数
の最小値を求めよう。
とおくと

であるから
となる。また
である。
のとり得る値の範囲は

であるから、t のとり得る値の範囲は
である。したがって、y,すなわちのとき、最小値をとる。

解答 この問題は落とせません。

 (三角関数の合成を参照)
とおくと、
 ・・・@
() 2 () 2 () 3 () 1 ......[]
 (半角の公式を参照)
これより、
 ・・・A
() 2 () 2 ......[]
@より、
() 2 () 3 ......[]
のとき、

(
)?6 ......[]
より、
 ・・・B (三角関数を含む方程式・不等式を参照)
() − () 1 () 3 ......[]
Aより、
はBの範囲に含まれるので、yで最小となります(2次関数の最大・最小を参照)
のとき、
 ∴
よって、yは、,即ちのとき、最小値をとります。
() 1 () 6 () − () 3 ......[]


[2] 自然数xで、条件
  ・・・@
  ・・・A
を満たすものを求めよう。
まず、
xを正の実数として、条件@を考える。@はとおくと
となる。この2次方程式を解くと
となる。したがって、条件@を満たす最小の自然数xであり、以上のすべての自然数xは@を満たす。
次に、条件Aについて考えると、Aを満たす最大の自然数
xであり、以下のすべての自然数xはAを満たす。
したがって、求める
x以上以下の自然数である。

解答 対数の基本問題です。整数がからんでいると言っても大したことはありません。

@より、



() 7 () 2 () 0 () 4 () 3 () 5 () 2 ......[]
x
は自然数でなので、です。従って、
()
を満たす最小の自然数は6で、6以上のすべての自然数xは@を満たします。
() 6 ......[]
Aの左辺は、xも単調増加、も単調増加なので、も単調増加です。Aのxに適当に数値代入して、Aの成立不成立を調べます。
としてみると、,成立します。
としてみると、より、,成立します。
としてみると、より、,成立します。
としてみると、より、,Aは成立しません。
従って、Aを満たす最大の自然数
x11であり、11以下のすべての自然数xはAを満たします。
() 1 () 1 ......[]


   センター数学TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元