センター数学IA '11年第4問 

1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pであり、5以上の目が出る確率qである。
以下では、
1個のさいころを8回繰り返して投げる。

(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。
1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率はである。
1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。

(2) 次ののうちに等しいものはである。ただし、は解答の順序を問わない。
     
     

(3) 得点を次のように定める。
8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合、
について、第n回目に初めて4以下の目が出たとき、得点はn点とする。
また、4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは、得点を0点とする。
このとき、得点が
6点となる確率はであり、得点が3点となる確率はである。また、得点の期待値はである。

解答 序盤の凡ミスの連鎖反応で全滅、ということがないように工夫された出題になっています。(2)が意味不明ですが、(1)の結果から、パスカルの三角形を作るための公式: (組み合わせを参照)を意識させようというのでしょうか?を考えれば、2個はすぐ見つかります。

1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pは、です。
() 2 () 3 ......[]
5
以上の目が出る確率qは、です。
() 1 () 3 ......[]

(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は、反復試行の公式より、
() 5 () 6 ......[]
1回目に4以下の目が出て(確率p)、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る(確率)確率は、
() 2 () 1 ......[]
1回目に5以上の目が出て(確率q)、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る(確率)確率は、
() 3 () 5 ......[]
注.(キク)(ケコ)を合わせると(オカ)なので、とすることもできます。

(2) ,また、公式:より、
() ()
()  () ......[] (サ,シは逆でもOK)
注.
 
 

(3) 得点が6点になるのは、8回の中で4以下の目がちょうど3回出て、第6回目に初めて4以下の目が出る場合、つまり、1回目から5回目まで5以上の目が出て(確率)6回目、7回目、8回目には4以下の目が出る(確率)場合です。この確率はです。
() 3 () 5 ......[]
得点が3点になるのは、1回目と2回目に5以上の目が出て(確率)3回目に4以下の目が出て(確率p)4回目から8回目までの5回のうち24以下の目が出る()場合です。この確率は、

() 1 () 0 ......[]
得点が1点になるのは、1回目がpで、2回目から8回目までの7回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
2点になるのは、1回目がq2回目がpで、3回目から8回目までの6回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
4点になるのは、1回目から3回目がq4回目がpで、5回目から8回目までの4回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
5点になるのは、1回目から4回目がp5回目がpで、6回目から8回目までの3回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点の期待値は、

() 1 () 1 () 2 () 7 () 2 () 9 ......[]
追記.この問題を解くのには関係ありませんが、(2)によると、


となり、(3)において、得点nが、となる確率を加えると、8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率になることがわかります。
一般的に言うと、


 ()


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