センター数学IA '11年第3問 

Oを中心とする円Oの円周上に4ABCDがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さは、それぞれ
であるとする。

(1) とおくと、△ABCに着目して
となる。また、△ACDに着目して
となる。よって、であり、円Oの半径はである。
また、四角形
ABCDの面積はである。

(2) Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると、である。また、線分OEと辺ADの交点をFとすると、であり、
である。
さらに、辺
ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。点Eから直線OGに垂線を下ろし、直線OGとの交点をHとする。
4EGは同一円周上にある。に当てはまるものを次のから一つ選べ。
CF  HD  HF  HA  OA
したがって
である。

解答 (1)は問題集などでよく見かける問題です。ですが、本番では、(2)で難航した受験生が多かったのではないでしょうか?
途中で、
BCが円Oの直径であることがわかってしまうので、右図のような図を描けば何でもないのですが、問題文とにらめっこになってしまうと行き詰まってしまいかねません。図が描きにくいのですが、図が描けたかどうかで勝負が分かれたと思います。

(1) 四角形ABCDは円に内接する四角形なので、対向する内角は互いに補角をなし、
ABCにおいて余弦定理より、

 ・・・@
() 3 () 5 ......[]
ACDにおいて余弦定理より、

 ・・・A
() 1 () 2 ......[]
@,Aより、

(
) 1 () 2 ......[]
これより、で、@より、
() 2 () 1 ......[]
Oの半径をRとして、正弦定理より、

(
) 7 ......[]
これで、BCが円Oの直径になっていること(OBC上の点)がわかるので、右図を描くことができます。
ABC面積は、
ACDの面積は、
四角形ABCDの面積は、
() 5 () 3 ......[]

(2) は、半径と接線のなす角でです。
() 9 () 0 ......[]
同様に (半径)OE共通により、
OAE≡△ODE
これより、OEADは直交し、です。
() 9 () 0 ......[]
また、△OAEと△OFAは相似なので、OAOEOFOA
 ・・・B
() 7 ......[]
別解.△AEFの外接円を考えると、AEはこの円の直径、また、OAはこの円の接線です。方べきの定理より、

EHOと△GFOはどちらもを共有する直角三角形で相似です。これより、
この2角を弦HFの上に立つ円周角と見れば、EGHFは同一円周上の点です。
() ......[]
別解.より、この2角を直径EGの上に立つ円周角と見れば、EGHFは同一円周上の点です。

EHOと△GFOが相似であることから、
OEOHOGOF
 ( B)
(
) 7 ......[]
別解.四角形EGHFの外接円に方べきの定理を適用して、


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